El valor esperado (o esperanza matemática) de una variable aleatoria es el promedio de sus resultados ponderado por sus probabilidades. Se interpreta como el promedio que obtendrías si repitieras el experimento muchísimas veces. Es, literalmente, un promedio ponderado donde los pesos son probabilidades. Se escribe E[X] o μ. Sirve para comparar apuestas, seguros, garantías, decisiones de inventario y cualquier situación en la que un resultado incierto se repite; no predice lo que pasará una sola vez.
Cómo se calcula
- Lista todos los resultados posibles y el valor (ganancia, costo, cantidad) de cada uno.
- Asigna la probabilidad de cada resultado. Deben sumar 1.
- Multiplica cada valor por su probabilidad.
- Suma los productos.
E[X] = Σ xᵢ · pᵢ
Propiedad útil (linealidad): E[a + bX] = a + b·E[X], y E[X + Y] = E[X] + E[Y] siempre, aunque X e Y no sean independientes. Por eso el valor esperado de un juego con costo de entrada es simplemente el premio esperado menos el costo.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: una rifa
Se venden 1,000 boletos a 50 pesos. Hay un premio de 20,000 pesos y dos premios de 5,000.
| Resultado | Premio | Probabilidad | Premio × probabilidad |
|---|---|---|---|
| Primer lugar | 20,000 | 1/1,000 | 20 |
| Segundo lugar (2 boletos) | 5,000 | 2/1,000 | 10 |
| Sin premio | 0 | 997/1,000 | 0 |
| Total | 1 | 30 |
- Premio esperado por boleto: 30 pesos.
- Valor esperado neto: 30 − 50 = −20 pesos por boleto.
Comprobación: los organizadores reciben 50,000 pesos y reparten 30,000; la diferencia, 20,000, entre 1,000 boletos, son 20 pesos por boleto. Un valor esperado negativo no impide ganar: indica que, en promedio, cada boleto pierde 20 pesos.
Ejemplo 2: ¿conviene la garantía extendida?
Una tienda ofrece una garantía extendida de 600 pesos para un electrodoméstico. Supón que la probabilidad de una falla en el periodo extra es de 8 % y que la reparación costaría 5,000 pesos.
- Costo esperado sin garantía: 0.08 × 5,000 = 400 pesos.
- Costo con garantía: 600 pesos seguros.
En promedio, la garantía cuesta 200 pesos más de lo que ahorra, que es justamente el margen de quien la vende. Pero el valor esperado no captura todo: si un gasto imprevisto de 5,000 pesos te causaría un problema serio, pagar por evitar ese riesgo puede tener sentido. El valor esperado compara promedios, no tolerancia al riesgo. Las probabilidades reales de falla dependen del producto; aquí son supuestas.
Ejemplo 3: el valor esperado de un dado
E[X] = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 3.5. Ningún lanzamiento da 3.5, pero el promedio de 1,000 lanzamientos estará muy cerca de ese valor (ley de los grandes números).
Para qué se usa
- Seguros: la prima se calcula a partir del costo esperado de los siniestros, más gastos y margen.
- Juegos y loterías: casi todos tienen valor esperado negativo para el jugador; ese es el negocio de quien los organiza.
- Inventarios y decisiones de negocio: cuántas piezas pedir comparando la ganancia esperada de cada opción.
- Estadística: la media de una distribución es su valor esperado, y un estimador es insesgado si su valor esperado es igual al parámetro.
Cuándo no basta
- Con decisiones que se toman una sola vez y pueden arruinarte: el promedio a largo plazo no sirve si no llegas al largo plazo.
- Si las probabilidades son inventadas: el resultado hereda la calidad de los supuestos.
- Con resultados extremos muy raros: un evento de probabilidad diminuta pero costo enorme puede dominar el valor esperado (o hacerlo infinito), y entonces conviene mirar también la varianza o los peores escenarios.
Errores comunes
- Olvidar restar el costo de entrada.
- Usar probabilidades que no suman 1 (por ejemplo, olvidar el caso «sin premio»).
- Interpretar el valor esperado como el resultado más probable.
- Promediar los premios sin ponderar por su probabilidad.
La calculadora de valor esperado acepta una tabla de valores y probabilidades y verifica que sumen 1. Este contenido explica un concepto; no es una recomendación de compra.