Una variable aleatoria es una regla que asigna un número a cada resultado posible de un experimento aleatorio. Al lanzar tres monedas, el resultado es una secuencia como «cara, cruz, cara»; la variable aleatoria X = «número de caras» la convierte en el número 2. Se escribe con mayúscula (X) y sus valores concretos con minúscula (x). Lo que la caracteriza no es un valor, sino su distribución: qué valores puede tomar y con qué probabilidad. De la distribución salen su media, llamada valor esperado, y su varianza, que describen el centro y la dispersión de los resultados a largo plazo.
Discretas y continuas
| Discreta | Continua | |
|---|---|---|
| Valores posibles | Separados, se pueden contar (0, 1, 2, …) | Cualquier valor en un intervalo |
| Ejemplos | Caras en 3 lanzamientos, clientes por hora | Tiempo de espera, estatura, temperatura |
| Se describe con | Función de probabilidad P(X = x) | Función de densidad f(x) |
| P(X = un valor exacto) | Puede ser mayor que 0 | Siempre 0; se calculan intervalos |
| Media | Σ x · P(X = x) | ∫ x · f(x) dx |
E[X] = Σ x · P(X = x) · Var(X) = Σ (x − μ)² · P(X = x)
Cómo se trabaja con una variable aleatoria
- Define la variable con precisión: qué se cuenta o se mide, y en qué unidad.
- Lista sus valores posibles.
- Asigna probabilidades a cada valor (o una densidad, si es continua). Deben sumar 1.
- Calcula media, varianza o las probabilidades que te interesen.
- Si la transformas (Y = a + bX), recuerda que E[Y] = a + b·E[X] y Var(Y) = b²·Var(X).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: número de caras en tres lanzamientos (discreta)
Los 8 resultados posibles son igualmente probables. X cuenta las caras:
| x | Resultados | P(X = x) | x · P | (x − 1.5)² · P |
|---|---|---|---|---|
| 0 | XXX | 1/8 | 0 | 0.28125 |
| 1 | CXX, XCX, XXC | 3/8 | 0.375 | 0.09375 |
| 2 | CCX, CXC, XCC | 3/8 | 0.75 | 0.09375 |
| 3 | CCC | 1/8 | 0.375 | 0.28125 |
| Total | 1 | 1.5 | 0.75 |
E[X] = 1.5 caras y Var(X) = 0.75. Si cada cara paga 50 pesos, el pago Y = 50X tiene media 50 × 1.5 = 75 pesos y varianza 50² × 0.75 = 1,875 pesos². Esta X es un caso de la distribución binomial con n = 3 y p = 0.5.
Ejemplo 2: tiempo de espera uniforme (continua)
Un camión pasa cada 10 minutos y llegas a la parada en un momento cualquiera. Tu espera X puede tomar cualquier valor entre 0 y 10 minutos, todos igual de probables: densidad f(x) = 1/10.
- P(esperar menos de 3 minutos) = 3 ÷ 10 = 0.3. En una continua, la probabilidad es un área: base 3 por altura 1/10.
- P(esperar exactamente 3 minutos) = 0: un solo punto no tiene área.
- E[X] = (0 + 10) ÷ 2 = 5 minutos; Var(X) = 10² ÷ 12 ≈ 8.33 min².
Es la distribución uniforme. Si el camión fuera irregular, la forma de f(x) cambiaría y también la espera media.
Variable aleatoria frente a variable estadística
En estadística descriptiva se habla de «variable» para una característica medida en unos datos ya recogidos (las estaturas de un grupo). La variable aleatoria es el modelo teórico de esa característica antes de observarla: el promedio de los datos estima el valor esperado de la variable aleatoria, y la varianza de los datos estima su varianza.
Errores comunes
- Confundir la variable (X, una regla) con un valor observado (x = 2).
- Asignar probabilidades que no suman 1.
- Buscar P(X = 3) en una variable continua y pensar que es la altura de la densidad en 3.
- Pensar que Var(2X) = 2·Var(X): es 4·Var(X).
- Suponer que E[X] es el valor «más probable»: en el ejemplo 1, 1.5 ni siquiera es un valor posible.