La distribución binomial describe cuántos «éxitos» se obtienen al repetir n veces un experimento que solo tiene dos resultados posibles, siempre con la misma probabilidad de éxito p y sin que un intento influya en otro. Responde preguntas como «si contesto al azar un examen de 10 preguntas con 4 opciones, ¿qué probabilidad hay de acertar 6?» o «si el 5 % de las piezas sale defectuosa, ¿qué probabilidad hay de que un lote de 20 venga sin defectos?». Su promedio es simplemente n·p: en 10 preguntas con probabilidad 1/4, en promedio se aciertan 2.5.
Para que un problema sea binomial deben cumplirse cuatro condiciones: número fijo de intentos, dos resultados por intento, probabilidad constante e independencia entre intentos. Si se extrae sin reemplazo de un grupo pequeño, la probabilidad cambia en cada extracción y el modelo correcto es la hipergeométrica.
Fórmula
P(X = k) = C(n, k) · pk · (1 − p)n − k · μ = np · σ² = np(1 − p)
C(n, k) es el número de combinaciones de n elementos tomados de k en k: cuenta de cuántas formas distintas pueden repartirse los k éxitos entre los n intentos.
Cómo se calcula
- Verifica las cuatro condiciones e identifica n, p y el valor k que te interesa.
- Calcula C(n, k) = n! ÷ [k!(n − k)!].
- Multiplica por pk y por (1 − p)n − k.
- Para «al menos» o «como máximo», suma las probabilidades de cada valor, o usa el complemento (1 menos lo contrario), que suele requerir menos términos.
- En Excel:
=DISTR.BINOM.N(k;n;p;FALSO)da la probabilidad exacta y conVERDADEROla acumulada hasta k.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: contestar un examen al azar
Un examen tiene 10 preguntas de opción múltiple con 4 opciones cada una. Un alumno contesta todo al azar: n = 10, p = 0.25.
- Ninguna correcta: C(10, 0) × 0.25⁰ × 0.75¹⁰ = 0.75¹⁰ ≈ 0.056.
- Exactamente 2: C(10, 2) = 45; 45 × 0.25² × 0.75⁸ ≈ 0.282. Es el resultado más probable.
- 6 o más (aprobar): se suman k = 6, 7, 8, 9 y 10. El total es ≈ 0.0197, menos del 2 %.
- Promedio de aciertos: 10 × 0.25 = 2.5.
Adivinar para aprobar es una apuesta perdedora: de cada 100 alumnos que contestaran todo al azar, solo unos 2 aprobarían.
Ejemplo 2: control de calidad con el complemento
Una línea produce 5 % de piezas defectuosas. Se toma un lote de 20 piezas (n = 20, p = 0.05).
- Cero defectuosas: 0.95²⁰ ≈ 0.358.
- Exactamente una: 20 × 0.05 × 0.95¹⁹ ≈ 0.377.
- Dos o más: en lugar de sumar 19 términos, usa el complemento: 1 − 0.358 − 0.377 ≈ 0.264.
- Media: 20 × 0.05 = 1 pieza; desviación: √(20 × 0.05 × 0.95) ≈ 0.97 piezas.
Aunque el promedio es una pieza defectuosa por lote, en más de un tercio de los lotes no aparece ninguna. Por eso revisar un solo lote dice poco sobre la tasa de defectos de la línea.
Relación con otras distribuciones
Cuando n es grande y p no está cerca de 0 ni de 1 (como regla, np y n(1 − p) mayores que 10), la binomial se parece mucho a una normal con media np y varianza np(1 − p). Cuando n es grande y p muy pequeña, se aproxima a una Poisson con λ = np. La proporción de éxitos en una muestra, k/n, es una binomial dividida entre n: de ahí salen los márgenes de error de las encuestas.
Cuándo no usarla
- Si la probabilidad cambia entre intentos: tiros libres de un jugador que se cansa, o clientes que llegan en grupos y deciden juntos.
- Si los intentos no son independientes: alumnos que copian entre sí, contagios en una misma casa.
- Si se extrae sin reemplazo de un grupo pequeño (más del 5 % del total): usa la hipergeométrica.
- Si no hay un número fijo de intentos y solo cuentas eventos en un tiempo: es un caso para la Poisson.
Errores comunes
- Olvidar el factor C(n, k) y calcular solo pk(1 − p)n − k, que es la probabilidad de un orden concreto.
- Confundir «al menos 2» con «más de 2».
- Usar el porcentaje (5) en lugar de la proporción (0.05).
- Sumar probabilidades hasta n cuando el complemento resuelve el problema con uno o dos términos.