La probabilidad es un número entre 0 y 1 que mide qué tan posible es que ocurra un evento: 0 significa imposible, 1 significa seguro y 0.5 significa que es igual de probable que ocurra o que no. También se expresa en porcentaje (0.25 = 25 %) o como «1 de cada 4». Hay tres formas de asignarla: clásica, contando casos igualmente posibles (1/6 para cada cara de un dado); frecuentista, como la proporción de veces que ocurre el evento en muchas repeticiones; y subjetiva, como grado de creencia razonado cuando no hay repeticiones posibles. Los tres enfoques obedecen las mismas reglas de cálculo.
Reglas básicas
- Rango: 0 ≤ P(A) ≤ 1.
- Complemento: la probabilidad de que A no ocurra es 1 − P(A).
- Suma (A o B): P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). Si A y B no pueden ocurrir juntos, se suman sin restar nada.
- Producto (A y B): P(A ∩ B) = P(A) · P(B | A). Si son independientes, P(A) · P(B).
- Condicional: la probabilidad de A sabiendo que ocurrió B.
P(A) = casos favorablescasos posibles · P(A | B) = P(A ∩ B)P(B)
La fórmula clásica solo vale si todos los casos son igualmente probables. «Lloverá o no lloverá» son dos casos, pero eso no hace que la probabilidad de lluvia sea 1/2. Contar casos en problemas más grandes requiere combinaciones y permutaciones.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: dos dados, contando casos y usando el complemento
Se lanzan dos dados. Hay 6 × 6 = 36 resultados igualmente probables.
- Que la suma sea 7: los pares (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1) son 6 casos. P = 6 ÷ 36 = 1/6 ≈ 16.7 %. Es la suma más probable.
- Que salga al menos un 6: es más fácil calcular lo contrario. Que ningún dado dé 6 tiene probabilidad (5/6) × (5/6) = 25/36. Entonces P = 1 − 25/36 = 11/36 ≈ 30.6 %.
Un error frecuente es sumar 1/6 + 1/6 = 1/3: eso cuenta dos veces el caso (6,6), que la regla de la suma obliga a restar una vez: 1/6 + 1/6 − 1/36 = 11/36.
Ejemplo 2: probabilidad condicional en una tabla
De 200 alumnos que presentaron un examen, 80 estudiaron con una guía:
| Aprobó | No aprobó | Total | |
|---|---|---|---|
| Con guía | 64 | 16 | 80 |
| Sin guía | 56 | 64 | 120 |
| Total | 120 | 80 | 200 |
- P(aprobar) = 120 ÷ 200 = 60 %.
- P(aprobar | usó guía) = 64 ÷ 80 = 80 %.
- P(aprobar | no usó guía) = 56 ÷ 120 ≈ 46.7 %.
- P(usó guía | aprobó) = 64 ÷ 120 ≈ 53.3 %. No es lo mismo que la segunda: el orden de la condición importa.
Que el porcentaje de aprobación sea mayor con guía no demuestra que la guía cause la aprobación; los alumnos que la usaron pueden ser también los más dedicados (ver sesgo de selección).
Probabilidad y promedios
La probabilidad frecuentista y el promedio están conectados: si repites un experimento muchas veces, la proporción de veces que ocurre un evento se acerca a su probabilidad (ley de los grandes números). Y si a cada resultado le asignas un valor, el promedio a largo plazo es el valor esperado. Para trabajar con resultados numéricos se usa una variable aleatoria.
Cuándo no aplicar estas reglas a ciegas
- Si los casos no son igualmente probables, la fórmula clásica falla (un dado cargado, un examen de opción múltiple donde no adivinas al azar).
- Si los eventos no son independientes, no multipliques probabilidades sin condicionar: la probabilidad de que dos hermanos tengan la misma enfermedad hereditaria no es el producto de las probabilidades individuales.
- Con eventos únicos (¿ganará este candidato?), la frecuencia no existe; cualquier probabilidad es un juicio y debe presentarse como tal.
Errores comunes
- Confundir P(A | B) con P(B | A), por ejemplo, la probabilidad de dar positivo estando sano con la de estar sano habiendo dado positivo.
- Creer que después de varias caras «toca» cruz: es la falacia del jugador. Los lanzamientos son independientes.
- Sumar probabilidades de eventos que pueden ocurrir juntos sin restar la intersección.
- Expresar una probabilidad mayor que 1 o un porcentaje mayor que 100 %: indica un error en el planteamiento.