La ley de los grandes números establece que el promedio de una cantidad grande de observaciones independientes de un mismo fenómeno se acerca cada vez más a su valor esperado (la media de la población) conforme crece el número de observaciones. Es la razón por la que la proporción de águilas en miles de volados se acerca a 50 %, por la que una aseguradora puede predecir cuánto pagará en siniestros sin saber quién los tendrá y por la que un casino gana con certeza a largo plazo aunque pierda muchas apuestas individuales. Lo que la ley no dice es que los resultados se «compensen»: esa es la falacia del jugador.
Fórmula
La versión «débil» de la ley dice que la probabilidad de que la media muestral se aleje del valor esperado más que cualquier margen ε tiende a cero:
P( |x̄ₙ − μ| > ε ) → 0 cuando n → ∞
La ley no dice a qué ritmo ocurre. Eso lo dice el error estándar, σ/√n: la distancia típica entre el promedio y el valor esperado se reduce con la raíz cuadrada del número de datos. Para dividir el error entre 10 necesitas 100 veces más datos.
Cómo aplicarla
- Identifica el valor esperado μ del fenómeno (o lo que quieres estimar).
- Verifica que las observaciones sean independientes y vengan del mismo proceso.
- Estima la variabilidad σ de cada observación.
- Calcula σ/√n para tu número de datos: te dice qué tan cerca del valor esperado estará típicamente tu promedio.
- Si ese margen es demasiado grande para tu decisión, la ley aún «no ha hecho efecto»: necesitas más datos.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: qué tan rápido se estabiliza el promedio de un dado
El resultado de un dado tiene valor esperado 3.5 y desviación estándar √(35/12) ≈ 1.708.
| Lanzamientos | Error estándar del promedio |
|---|---|
| 10 | 1.708 ÷ √10 ≈ 0.54 |
| 100 | 1.708 ÷ √100 ≈ 0.17 |
| 10,000 | 1.708 ÷ √10,000 ≈ 0.017 |
Con 10 lanzamientos es normal obtener un promedio de 3 o de 4. Con 10,000, el promedio casi siempre queda entre 3.47 y 3.53 (dos errores estándar). La ley se cumple, pero despacio: cada cifra decimal extra de precisión cuesta cien veces más lanzamientos.
Ejemplo 2: por qué una aseguradora necesita muchos clientes
Cada póliza tiene una probabilidad de 1 % de tener un siniestro en el año.
- Con 100 pólizas: se esperan 100 × 0.01 = 1 siniestro, con desviación √(100 × 0.01 × 0.99) ≈ 0.99. La probabilidad de 0 siniestros es 0.99¹⁰⁰ ≈ 0.37 y la de 3 o más ≈ 0.08. Un año puede costar el triple de lo esperado: el riesgo relativo es enorme.
- Con 10,000 pólizas: se esperan 100 siniestros, con desviación ≈ 9.95. Casi siempre habrá entre 80 y 120. La desviación es casi 10 % de lo esperado, frente a casi 100 % con cien pólizas.
La incertidumbre absoluta crece (de 1 a 10 siniestros), pero la incertidumbre por póliza se reduce diez veces. Eso es la ley de los grandes números convertida en negocio.
Diferencia con el teorema del límite central
La ley de los grandes números dice hacia dónde va el promedio (al valor esperado). El teorema del límite central dice cómo se distribuyen los promedios alrededor de ese valor (aproximadamente normal, con desviación σ/√n). Juntos permiten construir intervalos de confianza.
Cuándo no aplica
- Con observaciones dependientes: si los datos se influyen entre sí (contagios, opiniones en redes sociales, rachas reales de una máquina defectuosa), el promedio puede estabilizarse en un valor equivocado o tardar mucho más.
- Si el proceso cambia con el tiempo: promediar ventas de diez años no converge a nada si el mercado cambió.
- Con distribuciones sin media finita: en algunas distribuciones de colas extremas (como la de Cauchy), el promedio nunca se estabiliza, sin importar cuántos datos acumules.
- Con muestras sesgadas: más datos de una muestra mal tomada solo te acercan con más precisión a la respuesta equivocada. Revisa el sesgo de selección.
Errores comunes
- Creer que la ley obliga a los resultados futuros a compensar los pasados.
- Aplicarla a muestras pequeñas («en mis 20 volados salieron 14 águilas, ya va a compensar»).
- Confundir la convergencia de la proporción con la de la diferencia absoluta: tras 10,000 volados, la diferencia entre águilas y soles suele ser mayor que tras 100, aunque la proporción esté más cerca de 50 %.