La ley de Benford, o ley del primer dígito, dice que en muchos conjuntos de datos numéricos del mundo real el primer dígito no se reparte de forma pareja entre 1 y 9: el 1 aparece como primera cifra en cerca del 30 % de los casos, el 2 en cerca del 18 % y el 9 en menos del 5 %. Se cumple aproximadamente en datos que abarcan varios órdenes de magnitud y que surgen de procesos multiplicativos: poblaciones de municipios, montos de facturas, precios, saldos contables, longitudes de ríos. La observó primero el astrónomo Simon Newcomb en 1881, al notar que las primeras páginas de las tablas de logaritmos estaban más gastadas, y la popularizó el físico Frank Benford en 1938. Hoy se usa en auditoría para detectar cifras inventadas, porque quien inventa números tiende a repartir los primeros dígitos de forma demasiado pareja.
Fórmula
P(d) = log₁₀ ( 1 + 1d ) (d = 1, 2, …, 9)
| Primer dígito | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Probabilidad | 30.1 % | 17.6 % | 12.5 % | 9.7 % | 7.9 % | 6.7 % | 5.8 % | 5.1 % | 4.6 % |
La explicación intuitiva: para que una cantidad que crece de forma proporcional pase de empezar con 1 a empezar con 2 tiene que duplicarse (de 100 a 200), pero para pasar de 9 a 10 solo necesita crecer 11 % (de 900 a 1,000). Pasa mucho más tiempo empezando con 1.
Cómo comprobar si unos datos la siguen
- Toma el primer dígito distinto de cero de cada dato (de 0.0352 es el 3).
- Cuenta cuántas veces aparece cada dígito del 1 al 9 y calcula su frecuencia relativa.
- Calcula las frecuencias esperadas: n × P(d).
- Compara con una gráfica de barras y con una prueba ji cuadrada con 8 grados de libertad.
- Si hay desviaciones grandes, revisa los registros concretos que las causan; la ley señala dónde mirar, no prueba fraude.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: las potencias de 2
Las primeras 100 potencias de 2 (1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, …, 2⁹⁹) son un proceso multiplicativo puro. Sus primeros dígitos se reparten así:
| Dígito | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Veces | 30 | 17 | 13 | 10 | 7 | 7 | 6 | 5 | 5 |
Casi idéntico a los porcentajes de Benford (30.1, 17.6, 12.5…). Ninguna potencia de 2 se «eligió» para que saliera así: es consecuencia de duplicar una y otra vez.
Ejemplo 2: revisar 200 facturas
Un auditor revisa 200 montos de facturas y cuenta los primeros dígitos: 52, 38, 26, 22, 18, 14, 12, 10 y 8 (del 1 al 9).
- Esperados según Benford: 200 × 0.301 ≈ 60.2 para el 1; 35.2 para el 2; 25.0; 19.4; 15.8; 13.4; 11.6; 10.2 y 9.2.
- Estadístico ji cuadrada: Σ (observado − esperado)² ÷ esperado ≈ 2.22.
- Valor crítico con 8 grados de libertad al 5 %: 15.51.
No hay evidencia de desviación. Si, en cambio, hubiera muchos montos que empiezan con 4 justo debajo de un límite de autorización de 5,000 pesos, aparecería un exceso en el dígito 4 que valdría la pena investigar.
Cuándo no esperar que se cumpla
- Datos acotados en un rango estrecho: estaturas de adultos (casi todas empiezan con 1 en metros), calificaciones de 0 a 10, edades de estudiantes de secundaria.
- Números asignados: teléfonos, códigos postales, folios consecutivos, matrículas.
- Datos con mínimos o máximos impuestos: precios que terminan en 99, montos fijos por tarifa, salarios mínimos.
- Muestras pequeñas: con 30 datos, las diferencias por azar son grandes y la prueba no tiene potencia.
Errores comunes
- Tomar una desviación de Benford como prueba de fraude. Muchas bases legítimas no la cumplen por su naturaleza.
- Aplicarla a datos que abarcan menos de un par de órdenes de magnitud.
- Contar el cero inicial de los decimales como primer dígito.
- Ignorar que la ley tiene versiones para el segundo dígito y para los dos primeros, que en auditoría suelen ser más útiles.