Un intervalo de predicción es un rango que, con cierta probabilidad (por ejemplo, 95 %), contendrá una observación futura individual: el tiempo que tardará el próximo cliente, la duración de la siguiente batería que compres, la venta de mañana. Se confunde a menudo con el intervalo de confianza, pero responde a otra pregunta. El de confianza dice dónde está probablemente la media de la población; el de predicción dice dónde caerá probablemente un dato nuevo. Como un dato individual varía mucho más que un promedio, el intervalo de predicción siempre es más ancho, y no se reduce a cero aunque tengas millones de datos.
Fórmula
Para una observación nueva de una población aproximadamente normal, con media y desviación estimadas a partir de n datos:
x̄ ± tα/2, n−1 · s · √(1 + 1n)
El «1» dentro de la raíz representa la variación del dato nuevo alrededor de la media verdadera; el «1/n», la incertidumbre de no conocer esa media. Con muchos datos el segundo término desaparece y el intervalo se acerca a μ ± 1.96σ. Compáralo con el de confianza, cuyo término es solo √(1/n).
Cómo se calcula
- Calcula la media x̄ y la desviación estándar muestral s.
- Busca el valor t con n − 1 grados de libertad para el nivel deseado.
- Multiplica s por √(1 + 1/n).
- Multiplica por t para obtener el margen.
- Suma y resta el margen a la media.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: confianza frente a predicción con los mismos datos
Con 16 clientes se obtuvo una espera media de 24.5 minutos y una desviación de 4 (t = 2.131 con 15 gl).
- Intervalo de confianza 95 % para la media: 24.5 ± 2.131 × 4 ÷ √16 = 24.5 ± 2.13 → de 22.4 a 26.6 minutos.
- Intervalo de predicción 95 % para el próximo cliente: 24.5 ± 2.131 × 4 × √(1 + 1/16) = 24.5 ± 8.79 → de 15.7 a 33.3 minutos.
Si la sucursal promete «esperas de 22 a 27 minutos» usando el intervalo de confianza, muchos clientes quedarán fuera de esa promesa. El intervalo correcto para decirle algo a un cliente es el de predicción, cuatro veces más ancho.
Ejemplo 2: muestra pequeña de baterías
Cinco baterías duraron 10.2, 9.8, 11.0, 10.5 y 9.5 horas.
- Media: 51 ÷ 5 = 10.2 horas; desviación muestral ≈ 0.587.
- t con 4 gl para 95 %: 2.776.
- Margen: 2.776 × 0.587 × √(1 + 1/5) = 2.776 × 0.587 × 1.095 ≈ 1.79.
- Intervalo de predicción: de 8.4 a 12.0 horas.
La próxima batería durará, con 95 % de probabilidad, entre 8.4 y 12 horas (si las baterías siguen una distribución aproximadamente normal). El intervalo de confianza para la duración media sería 10.2 ± 0.73, de 9.5 a 10.9 horas. Con solo cinco datos, el valor t es grande y ambos intervalos son anchos.
En regresión
En una regresión lineal, los programas suelen ofrecer dos bandas alrededor de la recta: la de confianza (para el valor medio de y en cada x) y la de predicción (para un valor individual de y). La de predicción es la que importa si quieres pronosticar las ventas de una tienda concreta a partir de su superficie; la de confianza, si te interesa la venta promedio de todas las tiendas de esa superficie. Ambas se ensanchan conforme te alejas del centro de los datos.
Cuándo no usarlo
- Con datos claramente no normales o con colas pesadas. La fórmula depende mucho del supuesto de normalidad, mucho más que el intervalo de confianza (que se apoya en el teorema del límite central). Con datos asimétricos, usa percentiles empíricos de muchos datos.
- Para periodos o condiciones distintas a las de la muestra. Predecir el gasto de diciembre con datos de marzo no funciona, por amplio que sea el intervalo.
- Si necesitas un rango que contenga una proporción de la población con cierta confianza: eso es un intervalo de tolerancia, otro concepto.
Errores comunes
- Usar el intervalo de confianza para pronosticar casos individuales y sorprenderse de que tantos queden fuera.
- Olvidar el «1 +» dentro de la raíz.
- Creer que con más datos el intervalo de predicción se vuelve tan estrecho como se quiera: su ancho mínimo lo fija la variación natural de los datos.
- Aplicar la fórmula de un solo dato nuevo a la predicción del promedio de varios datos futuros; para m datos futuros el término es 1/m + 1/n.