La regresión lineal simple es un método para describir y predecir una variable numérica (y, la variable de respuesta) a partir de otra (x, la explicativa) mediante una recta: ŷ = a + b·x. La recta se elige por mínimos cuadrados, es decir, la que hace más pequeña la suma de los errores al cuadrado entre los datos y la recta. La pendiente b indica cuánto cambia en promedio y cuando x aumenta una unidad, y el intercepto a es el valor predicho cuando x = 0. En el fondo, una regresión es un «promedio condicional»: estima la media de y para cada valor de x.
Cómo se calcula
- Dibuja un diagrama de dispersión y verifica que la relación parezca una línea, no una curva.
- Calcula las medias x̄ y ȳ.
- Calcula la pendiente b con la fórmula de abajo.
- Calcula el intercepto: a = ȳ − b · x̄.
- Evalúa el ajuste con el coeficiente de determinación R² y mira los residuos.
b = Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)Σ (xᵢ − x̄)²
Si ya conoces la correlación r y las desviaciones estándar, hay un atajo:
b = r · sysx
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: horas de estudio y calificación
Seis estudiantes reportaron sus horas de estudio para un examen y su calificación:
| Horas (x) | 2 | 4 | 5 | 7 | 8 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Calificación (y) | 5.5 | 6.0 | 7.0 | 7.5 | 8.5 | 9.0 |
- Medias: x̄ = 6, ȳ = 7.25.
- Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 19.5; Σ(x − x̄)² = 42.
- Pendiente: b = 19.5 ÷ 42 ≈ 0.464 puntos por hora.
- Intercepto: a = 7.25 − 0.464 × 6 ≈ 4.46.
- Recta: ŷ = 4.46 + 0.464·x. R² ≈ 0.966.
Interpretación: cada hora adicional de estudio se asocia con casi medio punto más de calificación, y la recta explica cerca del 97 % de la variación de las calificaciones en este grupo. Predicción para 6 horas: 4.46 + 0.464 × 6 ≈ 7.25.
Pero para 20 horas la recta predice 13.75, imposible en una escala de 0 a 10. Fuera del rango observado (de 2 a 10 horas) la recta no tiene respaldo: eso es extrapolar.
Ejemplo 2: precio de departamentos a partir de resúmenes
Un reporte de una zona da estos resúmenes de 200 departamentos: superficie media 90 m², desviación estándar 20 m²; precio medio 1,800 mil pesos, desviación estándar 300 mil; correlación r = 0.8.
- b = 0.8 × 300 ÷ 20 = 12 mil pesos por m².
- a = 1,800 − 12 × 90 = 720 mil pesos.
- Predicción para 100 m²: 720 + 12 × 100 = 1,920 mil pesos.
El intercepto (720 mil pesos para 0 m²) no se interpreta literalmente: no hay departamentos de 0 m². Solo sirve para ubicar la recta. Y R² = 0.8² = 0.64: la superficie explica el 64 % de la variación del precio; el resto depende de ubicación, antigüedad, piso, etc. Una predicción individual tendrá un margen amplio, que se cuantifica con el intervalo de predicción.
Supuestos que conviene revisar
- Linealidad: la relación es aproximadamente una recta.
- Independencia: cada observación no depende de las otras (cuidado con datos en el tiempo).
- Varianza constante: la dispersión alrededor de la recta es parecida en todo el rango de x.
- Residuos sin patrón: si al graficar residuos contra x aparece una curva, el modelo está mal especificado.
Cuándo no usarla
- Para afirmar causalidad con datos observacionales: una pendiente positiva entre helados vendidos y ahogamientos refleja el calor, no un efecto del helado. Lo explica la página de correlación.
- Con relaciones curvas: transforma las variables (por ejemplo, con logaritmos) o usa otro modelo.
- Para predecir fuera del rango de los datos, como en el ejemplo 1.
- Con un punto muy influyente: un solo dato extremo en x puede cambiar la pendiente por completo.
- Cuando y es una categoría (aprobó / no aprobó): se usan modelos como la regresión logística.
Errores comunes
- Intercambiar x e y: la recta de y sobre x no es la misma que la de x sobre y.
- Leer R² alto como prueba de que el modelo es correcto.
- Olvidar las unidades de la pendiente («0.464» sin decir «puntos por hora»).
- Ignorar la regresión a la media al interpretar datos de antes y después.
En Excel: =PENDIENTE(B2:B7,A2:A7), =INTERSECCION.EJE(B2:B7,A2:A7), =COEFICIENTE.R2(B2:B7,A2:A7) y =PRONOSTICO.LINEAL(6,B2:B7,A2:A7) (en España, con ;). En una gráfica de dispersión, «Agregar línea de tendencia» muestra la ecuación y el R².