El coeficiente de determinación, que se escribe R² (o r² en regresión simple), indica qué proporción de la variación de una variable se explica con un modelo, normalmente una regresión lineal. Vale entre 0 y 1 cuando se calcula con los mismos datos del ajuste: R² = 0.75 significa que el modelo explica el 75 % de la variación de y alrededor de su media y que el 25 % restante queda en los residuos. Compara qué tan bien predice el modelo frente a la alternativa más simple, que es predecir siempre el promedio de y. En una regresión con una sola variable explicativa, R² es simplemente el cuadrado del coeficiente de correlación de Pearson.
Fórmula
R² = 1 − SCresSCtot = 1 − Σ (yᵢ − ŷᵢ)²Σ (yᵢ − ȳ)²
SCtot es la variación total de y (lo que fallarías prediciendo siempre la media); SCres es lo que falla el modelo. Si el modelo no mejora nada sobre la media, R² = 0; si acierta todos los puntos, R² = 1.
Cómo se calcula
- Ajusta el modelo y obtén las predicciones ŷ para cada dato.
- Calcula los residuos y − ŷ, elévalos al cuadrado y súmalos: SCres.
- Calcula las desviaciones de y respecto a su media, elévalas al cuadrado y súmalas: SCtot.
- Divide y resta de 1.
- En Excel:
=COEFICIENTE.R2(rango_y;rango_x), o activa «Presentar el valor R cuadrado» en una línea de tendencia de un gráfico.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: con las sumas de cuadrados
Cinco alumnos estudiaron 1, 2, 3, 4 y 5 horas y sacaron 5, 6, 6, 8 y 9. La recta de mínimos cuadrados es ŷ = 3.8 + 1.0·x.
| x | y | ŷ | y − ŷ | (y − ŷ)² | (y − 6.8)² |
|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 5 | 4.8 | 0.2 | 0.04 | 3.24 |
| 2 | 6 | 5.8 | 0.2 | 0.04 | 0.64 |
| 3 | 6 | 6.8 | −0.8 | 0.64 | 0.64 |
| 4 | 8 | 7.8 | 0.2 | 0.04 | 1.44 |
| 5 | 9 | 8.8 | 0.2 | 0.04 | 4.84 |
| Σ | 0.80 | 10.80 |
R² = 1 − 0.80 ÷ 10.80 ≈ 0.926. Coincide con el cuadrado de r = 0.962 de los mismos datos. Las horas de estudio explican cerca del 93 % de la variación de las calificaciones en estos cinco alumnos; con tan pocos datos, la cifra es frágil.
Ejemplo 2: R² ajustado al agregar variables
Un modelo con 20 observaciones y 3 variables explicativas tiene R² = 0.60. Agregar variables siempre sube (o deja igual) el R², aunque no sirvan, así que se usa el R² ajustado, que penaliza su número p:
R²aj = 1 − (1 − R²) · (n − 1) ÷ (n − p − 1) = 1 − 0.40 × 19 ÷ 16 = 1 − 0.475 = 0.525.
Si al agregar una cuarta variable el R² sube a 0.61 pero el ajustado baja, esa variable no aporta lo suficiente para justificar la complejidad.
Cómo interpretarlo
Un R² «bueno» depende del campo. En experimentos de física se esperan valores superiores a 0.99; en estudios de conducta humana, un R² de 0.2 puede ser un hallazgo importante, porque las personas varían por muchas causas que ningún modelo mide. Lo que R² no dice:
- Si la relación es causal.
- Si el modelo es el correcto: un modelo lineal sobre datos curvos puede tener R² alto y predecir mal en los extremos.
- Qué tan grandes son los errores en unidades reales; para eso está el RMSE del error cuadrático medio.
Cuándo no usarlo
- Para comparar modelos con distinta variable de respuesta (por ejemplo, y contra log y): las sumas de cuadrados totales no son comparables.
- En regresiones sin intercepto, donde muchos programas calculan R² con otra fórmula y dan valores inflados.
- Para evaluar pronósticos fuera de la muestra con la fórmula de ajuste: en datos nuevos, el R² puede incluso ser negativo si el modelo predice peor que la media.
Errores comunes
- Leer R² = 0.5 como «el modelo acierta la mitad de las veces».
- Elegir el modelo con más variables solo porque tiene el R² más alto.
- Confundir r con R²: un r de 0.5 (que suena moderado) equivale a explicar solo el 25 % de la varianza.
- Concluir que una variable «no importa» por un R² bajo, cuando su efecto puede ser grande y simplemente haber mucha variación por otras causas.