Las permutaciones y las combinaciones son las dos formas básicas de contar de cuántas maneras se pueden elegir k elementos de un grupo de n. La diferencia está en el orden: en una permutación el orden importa (primer, segundo y tercer lugar de una carrera son posiciones distintas), y en una combinación no importa (elegir a tres personas para un equipo es lo mismo en cualquier orden). Con los mismos n y k siempre hay más permutaciones que combinaciones, porque cada grupo de k elementos puede ordenarse de k! maneras. Son la base para calcular probabilidades clásicas: casos favorables entre casos posibles.
Fórmulas
El factorial n! es el producto 1 × 2 × … × n (por convención, 0! = 1). Las dos fórmulas solo se distinguen por el k! del denominador, que «borra» los distintos órdenes de un mismo grupo.
P(n, k) = n!(n − k)! · C(n, k) = n!k! (n − k)!
Dos casos más aparecen a menudo. Con repetición permitida y orden importante (contraseñas, placas), hay nk arreglos. Y para ordenar n objetos donde algunos se repiten (letras de una palabra), se divide n! entre el factorial de cada repetición.
Cómo decidir cuál usar
- Pregúntate si cambiar el orden produce un resultado distinto. Si sí, es permutación; si no, combinación.
- Pregúntate si un elemento puede elegirse más de una vez. Si sí, usa las fórmulas con repetición.
- Identifica n (de cuántos eliges) y k (cuántos eliges).
- Aplica la fórmula y simplifica los factoriales antes de multiplicar: 8!/5! = 8 × 7 × 6.
- En Excel:
=PERMUTACIONES(n;k)y=COMBINAT(n;k).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: el podio de una carrera (permutación)
En una final corren 8 atletas. ¿De cuántas formas puede quedar el podio (oro, plata y bronce)?
P(8, 3) = 8! ÷ 5! = 8 × 7 × 6 = 336 podios distintos.
Si te preguntaran solo qué tres atletas suben al podio, sin importar la medalla, la respuesta sería C(8, 3) = 336 ÷ 3! = 336 ÷ 6 = 56 grupos. Cada grupo de tres puede repartirse las medallas de 6 maneras.
Ejemplo 2: elegir un comité con condiciones (combinación)
Un grupo tiene 10 alumnos y 8 alumnas. Hay que formar una comisión de 4 alumnos y 2 alumnas.
- Formas de elegir a los alumnos: C(10, 4) = 210.
- Formas de elegir a las alumnas: C(8, 2) = 28.
- Total: 210 × 28 = 5,880 comisiones.
Las dos elecciones son independientes, así que se multiplican (principio multiplicativo). Si se sumaran, contarías comisiones incompletas.
Ejemplo 3: repeticiones
- Un NIP de 4 dígitos (se pueden repetir y el orden importa): 10⁴ = 10,000 posibilidades. Por eso probar al azar casi nunca funciona.
- Ordenar las letras de PAPAS (5 letras, con la P y la A repetidas dos veces cada una): 5! ÷ (2! × 2!) = 120 ÷ 4 = 30 palabras distintas.
Para qué sirven en estadística
El número de combinaciones aparece directamente en la distribución binomial (de cuántas formas se reparten k éxitos en n intentos) y en la hipergeométrica (de cuántas formas se extrae una muestra de un lote). También explica por qué el número de muestras posibles crece de forma explosiva: de un grupo de 50 personas se pueden sacar C(50, 10), más de 10,000 millones de muestras distintas de 10, y el muestreo aleatorio simple da a cada una la misma probabilidad.
Cuándo no usarlas
- Cuando los resultados no son igualmente probables. Contar casos y dividir solo funciona si cada caso tiene la misma probabilidad. Las 11 sumas posibles de dos dados (2 a 12) no son igual de probables.
- Cuando hay restricciones complejas (personas que no pueden sentarse juntas, turnos que se excluyen): a veces es más seguro contar el complemento o enumerar.
Errores comunes
- Usar combinaciones cuando los puestos son distintos (presidente, secretario, tesorero): eso es permutación.
- Sumar en lugar de multiplicar cuando hay dos elecciones sucesivas e independientes.
- Olvidar dividir entre las repeticiones al ordenar letras o objetos iguales.
- Calcular factoriales enormes completos en la calculadora en lugar de simplificar; 70! ya supera el límite de 10¹⁰⁰ de la mayoría de las calculadoras científicas.