La distribución hipergeométrica da la probabilidad de obtener k elementos de cierto tipo al extraer n elementos sin reemplazo de un grupo finito de tamaño N que contiene K elementos de ese tipo. Es el modelo de las loterías, de las cartas, de la selección de comités y de la inspección de lotes pequeños: cada elemento que sacas cambia la composición de lo que queda, así que la probabilidad no es constante de una extracción a otra. Esa es precisamente la diferencia con la distribución binomial, que supone intentos independientes con la misma probabilidad.
Fórmula
Se cuentan las formas de elegir k elementos «de interés» entre los K disponibles y n − k elementos «del resto» entre los N − K, y se divide entre todas las formas de elegir n elementos de N. Cada término es un número de combinaciones.
P(X = k) = C(K, k) · C(N − K, n − k)C(N, n) · μ = n · KN
La media coincide con la de la binomial con p = K/N, pero la varianza es menor: se multiplica por el factor de corrección (N − n)/(N − 1). Extraer sin reemplazo da resultados un poco más predecibles.
Cómo se calcula
- Identifica N (total), K (elementos de interés en el total), n (extracciones) y k (los de interés que quieres obtener).
- Calcula C(K, k) y C(N − K, n − k) y multiplícalos.
- Divide entre C(N, n).
- Para «al menos uno», usa el complemento: 1 − P(X = 0).
- En Excel:
=DISTR.HIPERGEOM.N(k;n;K;N;FALSO).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: un sorteo de 6 números entre 40
En un sorteo se eligen 6 números de 1 a 40 y tú marcaste 6. Aquí N = 40, K = 6 (tus números), n = 6 (los números sorteados).
- Formas posibles del sorteo: C(40, 6) = 3,838,380.
- Acertar los 6: 1 ÷ 3,838,380 ≈ 0.00000026.
- Acertar exactamente 3: C(6, 3) × C(34, 3) ÷ C(40, 6) = 20 × 5,984 ÷ 3,838,380 ≈ 0.031.
- No acertar ninguno: C(34, 6) ÷ C(40, 6) ≈ 0.350.
El resultado más probable es acertar uno (≈ 0.435). El número promedio de aciertos es 6 × 6/40 = 0.9.
Ejemplo 2: inspeccionar un lote pequeño
Un lote de 50 piezas tiene 4 defectuosas. El inspector revisa 5 piezas al azar, sin devolverlas.
- Ninguna defectuosa: C(4, 0) × C(46, 5) ÷ C(50, 5) ≈ 0.647.
- Al menos una defectuosa: 1 − 0.647 ≈ 0.353.
Con la binomial (p = 4/50 = 0.08, n = 5) la probabilidad de cero defectuosas sale 0.92⁵ ≈ 0.659. La diferencia es pequeña porque la muestra es el 10 % del lote; si el inspector revisara 25 de las 50 piezas, la binomial se equivocaría mucho más. La regla práctica: si la muestra es menos del 5 % del total, la binomial basta.
Dos de cada tres veces el inspector aprobaría un lote con 8 % de piezas defectuosas. Revisar cinco piezas no sirve para detectar tasas de defecto de ese tamaño.
Ejemplo 3: formar un comité
De un grupo de 12 personas (7 mujeres y 5 hombres) se eligen 4 al azar. ¿Qué probabilidad hay de que queden exactamente 2 mujeres?
C(7, 2) × C(5, 2) ÷ C(12, 4) = 21 × 10 ÷ 495 ≈ 0.424.
Cuándo no usarla
- Si hay reemplazo (cada elemento vuelve al grupo antes de la siguiente extracción): es binomial.
- Si la población es enorme frente a la muestra: la hipergeométrica es correcta, pero la binomial da prácticamente lo mismo con cuentas más simples.
- Si la selección no es al azar: un inspector que elige «las piezas que se ven mal» no sigue ningún modelo de probabilidad conocido.
Errores comunes
- Usar la binomial con muestras grandes respecto al lote, sobre todo en control de calidad de lotes chicos.
- Confundir el orden de los argumentos n, K y N en Excel o en calculadoras.
- Contar con permutaciones (importando el orden) en el numerador y con combinaciones en el denominador, o al revés.
- Olvidar que n − k no puede superar a N − K: algunas probabilidades son cero por construcción.