La distribución exponencial describe el tiempo (o la distancia) que transcurre hasta que ocurre el siguiente evento, cuando los eventos suceden al azar, de manera independiente y a un ritmo promedio constante. Es la pareja continua de la distribución de Poisson: si el número de llamadas por minuto es Poisson con promedio λ, el tiempo entre una llamada y la siguiente es exponencial con media 1/λ. Se usa para tiempos entre llegadas de clientes, duración de componentes electrónicos que fallan sin desgaste y tiempos de atención en modelos de filas. Es muy asimétrica: los tiempos cortos son los más frecuentes y unos pocos tiempos muy largos estiran la cola.
Fórmula
P(X > t) = e−λt · μ = σ = 1λ · Me = ln 2λ
λ es la tasa (eventos por unidad de tiempo). La media y la desviación estándar son iguales, y la mediana es solo el 69 % de la media (ln 2 ≈ 0.693): la mitad de las esperas son bastante más cortas que la espera promedio.
Cómo se calcula
- Obtén la tasa λ. Si te dan la media, λ = 1 ÷ media; cuida que las unidades coincidan.
- Para «dura más de t», calcula e−λt.
- Para «dura menos de t», calcula 1 − e−λt.
- Para «entre t₁ y t₂», resta: e−λt₁ − e−λt₂.
- En Excel:
=DISTR.EXP.N(t;λ;VERDADERO)da la probabilidad acumulada hasta t.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: duración de un componente
Un tipo de foco LED falla al azar con una vida media de 8,000 horas, así que λ = 1/8,000 por hora.
- Que dure más de 10,000 horas: e−10,000/8,000 = e−1.25 ≈ 0.287.
- Que falle antes de 2,000 horas: 1 − e−0.25 ≈ 0.221.
- Vida mediana: 8,000 × ln 2 ≈ 5,545 horas.
Aunque la vida media es de 8,000 horas, la mitad de los focos falla antes de las 5,545. Un fabricante que anuncie «vida promedio de 8,000 horas» dice la verdad, pero no lo que la mayoría de los compradores experimentará.
Ejemplo 2: la falta de memoria
Uno de esos focos ya lleva 5,000 horas funcionando. ¿Qué probabilidad hay de que dure otras 5,000?
P(X > 10,000 | X > 5,000) = e−10,000/8,000 ÷ e−5,000/8,000 = e−0.625 ≈ 0.535, exactamente la misma probabilidad que tiene un foco nuevo de durar 5,000 horas.
Esta propiedad, llamada falta de memoria, es lo que define a la exponencial: el tiempo ya transcurrido no cambia lo que falta. Tiene sentido para fallas por causas externas (una descarga eléctrica) y no para piezas que se desgastan, como llantas o baterías.
La paradoja de la espera
Si los camiones pasan al azar con un intervalo medio de 15 minutos, la espera promedio de alguien que llega a la parada a cualquier hora también es de 15 minutos, no de 7.5. Por la falta de memoria, no importa cuánto tiempo haya pasado desde el último camión. Además, es más probable llegar durante un intervalo largo que durante uno corto. Compara con el camión de horario exacto de la distribución uniforme, donde la espera media sí es de 7.5 minutos: la regularidad reduce la espera a la mitad con el mismo número de camiones.
Cuándo no usarla
- Con desgaste o envejecimiento. Si la probabilidad de falla aumenta con el uso (motores, personas), el tiempo hasta la falla no es exponencial; se usan modelos como Weibull.
- Con llegadas programadas o en grupo: citas médicas, camiones con horario, clientes a la salida de una función de cine.
- Cuando hay un tiempo mínimo: ningún trámite dura cero minutos. Si el mínimo es importante, la exponencial pura sobreestima los tiempos muy cortos.
- Para resumir con la media sin más. Por su asimetría, conviene reportar también la mediana.
Errores comunes
- Confundir la tasa con la media: si el promedio es 8,000 horas, λ no es 8,000 sino 1/8,000.
- Mezclar unidades (tasa por hora y tiempo en minutos).
- Usar la fórmula de la exponencial para contar eventos; para eso está la Poisson.
- Suponer que un componente «ya viejo» tiene más probabilidad de fallar cuando el modelo es exponencial: por definición, no la tiene.