La distribución uniforme es la que asigna la misma probabilidad a todos los valores de un rango. Tiene dos versiones. La discreta reparte la probabilidad por igual entre un número finito de resultados, como las seis caras de un dado. La continua reparte la probabilidad por igual a lo largo de un intervalo [a, b], como el tiempo que esperas a un camión que pasa cada 15 minutos si llegas a la parada sin mirar el reloj. Su gráfica es un rectángulo: no tiene pico ni colas, y es el modelo natural cuando lo único que sabes de una cantidad es su mínimo y su máximo.
Fórmulas
Para la versión continua entre a y b, la probabilidad de caer en un tramo es proporcional a su longitud. La media es el punto medio y la varianza depende solo del ancho del intervalo.
P(c ≤ X ≤ d) = d − cb − a · μ = a + b2 · σ² = (b − a)²12
Para la discreta con n valores enteros consecutivos, cada uno tiene probabilidad 1/n, la media también es el punto medio y la varianza es (n² − 1)/12.
Cómo se trabaja con ella
- Identifica el mínimo a y el máximo b (o los n resultados posibles).
- Para una probabilidad continua, divide la longitud del tramo que te interesa entre la longitud total.
- Para la media, promedia los extremos.
- Para la desviación estándar, saca la raíz de la varianza: en la continua es (b − a)/√12 ≈ 0.289·(b − a).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: esperar el camión
Un camión pasa exactamente cada 15 minutos y llegas a la parada en un momento al azar. Tu espera es uniforme entre 0 y 15 minutos.
- Probabilidad de esperar más de 10 minutos: (15 − 10) ÷ 15 = 1/3.
- Espera promedio: (0 + 15) ÷ 2 = 7.5 minutos.
- Desviación estándar: 15 ÷ √12 ≈ 4.33 minutos.
Si el camión pasara cada 30 minutos, la espera promedio se duplicaría a 15. Es la razón por la que la frecuencia de paso importa más que la velocidad en trayectos cortos.
Ejemplo 2: el dado, versión discreta
Un dado justo tiene n = 6 caras, cada una con probabilidad 1/6.
- Media: (1 + 6) ÷ 2 = 3.5. No es un valor que pueda salir; es el promedio a largo plazo de muchos lanzamientos.
- Varianza: (6² − 1) ÷ 12 = 35 ÷ 12 ≈ 2.92; desviación ≈ 1.71.
Ejemplo 3: el error de redondear
Si mides longitudes y redondeas al milímetro, el error de redondeo queda entre −0.5 y 0.5 mm, y es razonable suponerlo uniforme. Su desviación estándar es 1 ÷ √12 ≈ 0.29 mm. Por eso agrupar datos en clases de amplitud c añade, en promedio, una varianza de c²/12: es la idea detrás de la corrección de Sheppard que se menciona en datos agrupados.
Usos
- Números aleatorios. Las funciones
ALEATORIO()de Excel orandom()de Python generan valores uniformes entre 0 y 1; a partir de ellos se simulan las demás distribuciones. - Modelos sin información. Si un proveedor solo garantiza que la entrega tarda «entre 3 y 7 días», la uniforme es el supuesto más neutral mientras no tengas datos.
- Referencia de forma. Su exceso de curtosis es −1.2: es el ejemplo clásico de distribución platicúrtica, sin colas.
Cuándo no usarla
- Cuando hay valores claramente más frecuentes. Las estaturas, los tiempos de traslado o las calificaciones se acumulan cerca del centro; para ellos la uniforme subestima lo típico y sobreestima los extremos.
- Cuando el rango no está bien definido. Si el máximo «a veces» se rebasa, no es uniforme.
- Para llegadas al azar sin horario. Si el camión no tiene horario fijo y pasa al azar, la espera ya no es uniforme: se describe mejor con la exponencial, y la espera promedio resulta mayor de lo que el intervalo medio sugiere.
Errores comunes
- Creer que «aleatorio» significa «uniforme». La suma de dos dados es aleatoria y no es uniforme: el 7 sale seis veces más que el 2.
- Usar (b − a)/12 en lugar de (b − a)²/12 para la varianza.
- Aplicar la fórmula continua a un caso discreto: la varianza de un dado no es (6 − 1)²/12 ≈ 2.08, sino 35/12 ≈ 2.92.