Los datos agrupados son datos que ya no aparecen uno por uno, sino resumidos en una tabla de clases con sus frecuencias: «12 personas de 40 a 50 años», en lugar de las 12 edades exactas. Es la forma en que llegan muchos datos públicos (censos, encuestas de ingreso, reportes escolares) y la forma en que se resumen conjuntos grandes. Con datos agrupados se pueden calcular la media, la mediana, la moda, la varianza y los percentiles, pero solo aproximadamente: dentro de cada clase se supone que todos los datos valen la marca de clase (para la media y la varianza) o que se reparten de manera uniforme (para la mediana y los percentiles).
Las medidas de centro tienen sus propias páginas: media de datos agrupados, mediana y moda. Aquí se explica la dispersión y el costo de agrupar.
Fórmula de la varianza con datos agrupados
Cada marca de clase mᵢ se cuenta tantas veces como indica su frecuencia fᵢ. La segunda forma (llamada «computacional») evita restar la media fila por fila.
s² = Σ fᵢ (mᵢ − x̄)²n − 1 = Σ fᵢ mᵢ² − n x̄²n − 1
La desviación estándar es la raíz cuadrada de s². Si los datos describen una población completa, se divide entre n.
Cómo se calcula
- Agrega a la tabla la columna de marcas de clase (punto medio de cada intervalo).
- Calcula f·m y súmala; divide entre n para obtener la media.
- Agrega la columna f·m² y súmala.
- Resta n·x̄² a esa suma y divide entre n − 1: es la varianza.
- Saca la raíz cuadrada para la desviación estándar.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: edades de 30 asistentes a un taller
| Edad | f | m | f·m | f·m² |
|---|---|---|---|---|
| 20 a 30 | 5 | 25 | 125 | 3,125 |
| 30 a 40 | 8 | 35 | 280 | 9,800 |
| 40 a 50 | 12 | 45 | 540 | 24,300 |
| 50 a 60 | 3 | 55 | 165 | 9,075 |
| 60 a 70 | 2 | 65 | 130 | 8,450 |
| Total | 30 | 1,240 | 54,750 |
- Media: 1,240 ÷ 30 ≈ 41.33 años.
- n·x̄² = 1,240² ÷ 30 = 1,537,600 ÷ 30 ≈ 51,253.33.
- Varianza: (54,750 − 51,253.33) ÷ 29 = 3,496.67 ÷ 29 ≈ 120.57.
- Desviación estándar: √120.57 ≈ 10.98 años.
Truco para no perder precisión: calcula n·x̄² como (Σf·m)² ÷ n, sin redondear la media antes.
Ejemplo 2: cuánto se pierde al agrupar
Doce clientes gastaron (en cientos de pesos): 11, 13, 14, 18, 21, 22, 24, 25, 27, 28, 33 y 38.
Con los datos originales: media ≈ 22.83 y desviación estándar muestral ≈ 8.12.
Agrupados en tres clases de 10 a 20 (4 clientes), 20 a 30 (6) y 30 a 40 (2), con marcas 15, 25 y 35:
- Media: (4 × 15 + 6 × 25 + 2 × 35) ÷ 12 = 280 ÷ 12 ≈ 23.33.
- Varianza: [4 × (15 − 23.33)² + 6 × (25 − 23.33)² + 2 × (35 − 23.33)²] ÷ 11 = 566.67 ÷ 11 ≈ 51.52; desviación ≈ 7.18.
La media agrupada se desvía medio punto y la desviación casi uno. Con clases tan anchas y tan pocos datos, el error es notable; con cientos de datos y clases estrechas, casi desaparece. Aquí la media sube porque los clientes de las dos primeras clases gastan, en promedio, menos que su marca (14 y 24.5 frente a 15 y 25), y la desviación baja porque al agrupar desaparece la variación que había dentro de cada clase.
Corrección de Sheppard
Agrupar con clases de igual amplitud c suele inflar un poco la varianza: en promedio, alrededor de c²/12 cuando la distribución es suave y tiene colas que bajan gradualmente. La corrección de Sheppard resta esa cantidad. En la práctica casi nunca se aplica en reportes escolares, pero explica por qué la varianza agrupada no coincide con la original. El ejemplo 2 muestra que, con pocos datos, el error puede ir incluso en sentido contrario.
Cuándo no trabajar con datos agrupados
- Cuando tienes los datos originales. Agrupar para calcular la media es perder precisión a cambio de nada; agrupa solo para presentar.
- Con clases abiertas («65 años o más»): la última clase no tiene marca y la media y la varianza dependen de un valor inventado.
- Con clases de amplitudes muy distintas, si luego vas a leer la forma de la distribución en un histograma sin ajustar las alturas.
Errores comunes
- Usar los límites de la clase en lugar de la marca de clase en f·m.
- Olvidar multiplicar por la frecuencia en la columna de cuadrados: Σm² en lugar de Σf·m².
- Redondear la media a un entero antes de usarla en la varianza.
- Presentar resultados agrupados con tantos decimales como si fueran exactos.
La calculadora de media de datos agrupados calcula la media a partir de tus clases y frecuencias.