La desigualdad de Chebyshev (también escrita Chebyshov o Tchebycheff) garantiza que, en cualquier conjunto de datos o distribución con media y desviación estándar definidas, al menos una proporción 1 − 1/k² de los valores queda a menos de k desviaciones estándar de la media. Con k = 2, al menos el 75 % de los datos está a menos de dos desviaciones; con k = 3, al menos el 88.9 %. A diferencia de la regla 68-95-99.7, que solo vale para la distribución normal, Chebyshev no supone nada sobre la forma de los datos. A cambio, sus garantías son más modestas: son pisos mínimos, no proporciones exactas.
Fórmula
P( |X − μ| ≥ kσ ) ≤ 1k² · P( |X − μ| < kσ ) ≥ 1 − 1k²
Solo es informativa para k > 1; con k = 1 la cota es 0 y no garantiza nada. k no tiene que ser entero.
| k | Chebyshev (mínimo) | Normal (exacto) |
|---|---|---|
| 1.5 | 55.6 % | 86.6 % |
| 2 | 75.0 % | 95.4 % |
| 3 | 88.9 % | 99.7 % |
| 4 | 93.8 % | 99.99 % |
Cómo se aplica
- Obtén la media y la desviación estándar de los datos.
- Si te dan un intervalo, calcula a cuántas desviaciones está su extremo de la media: k = distancia ÷ σ. El intervalo tiene que ser simétrico alrededor de la media.
- Calcula 1 − 1/k²: es la proporción mínima dentro del intervalo.
- Si te dan la proporción deseada p, despeja k = 1/√(1 − p) y construye el intervalo μ ± kσ.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: proporción mínima dentro de un intervalo dado
En una empresa, el tiempo de traslado de los empleados tiene media 40 minutos y desviación 8. No se sabe qué forma tiene la distribución. ¿Qué proporción mínima tarda entre 28 y 52 minutos?
- Distancia a la media: 52 − 40 = 12 minutos; k = 12 ÷ 8 = 1.5.
- Proporción mínima: 1 − 1/1.5² = 1 − 1/2.25 ≈ 55.6 %.
Si los tiempos fueran normales, la proporción sería cercana al 87 %. Chebyshev solo promete el 55.6 %, pero lo promete con cualquier forma, incluso con muchos traslados muy largos.
Ejemplo 2: construir un intervalo que contenga al menos el 90 %
Con los mismos datos, ¿qué intervalo contiene con seguridad al menos el 90 % de los empleados?
- 1 − 1/k² = 0.90 → 1/k² = 0.10 → k = √10 ≈ 3.16.
- Intervalo: 40 ± 3.16 × 8 = 40 ± 25.3 → de 14.7 a 65.3 minutos.
Es un intervalo ancho, el precio de no suponer nada. Con datos normales bastaría 40 ± 1.645 × 8, es decir, de 26.8 a 53.2 minutos.
Para qué sirve
- Para datos asimétricos o desconocidos, como ingresos, tiempos de espera o reclamaciones de seguros, donde la regla normal sería engañosa.
- Para detectar errores: si te dicen que el 40 % de los datos está a más de dos desviaciones de la media, el cálculo está mal, porque Chebyshev permite como máximo 25 %.
- En teoría: es la herramienta con que se demuestra la ley de los grandes números en su versión más sencilla, aplicándola al promedio, cuya desviación es σ/√n.
Cuándo no usarla
- Cuando sabes que los datos son aproximadamente normales: la regla 68-95-99.7 da respuestas mucho más precisas.
- Para intervalos que no están centrados en la media: la desigualdad habla de distancias simétricas. Para una sola cola existe una versión distinta (la desigualdad de Cantelli).
- Con muestras muy pequeñas, donde la media y la desviación estimadas son poco confiables.
Errores comunes
- Leer la cota como una proporción exacta («el 75 % de los datos está a menos de dos desviaciones»). Es al menos el 75 %; casi siempre es más.
- Usar k < 1 o k = 1 y obtener cotas negativas o nulas.
- Elevar k en lugar de k² (escribir 1 − 1/k).
- Usar la varianza en vez de la desviación estándar al calcular k.