La desviación absoluta mediana, conocida por sus siglas en inglés MAD (median absolute deviation), es la mediana de las distancias de cada dato a la mediana. Es una medida de dispersión robusta: casi la mitad de los datos podría estar arruinada por errores y la MAD seguiría describiendo bien la variación del resto. Por eso se usa para detectar datos atípicos, para limpiar mediciones de laboratorio y para monitorear tiempos de respuesta en sistemas informáticos, donde unos cuantos valores enormes son la norma.
No hay que confundirla con la desviación media, que promedia las distancias a la media y por eso sí se deja arrastrar por los extremos.
Fórmula
MAD = mediana( |xᵢ − Me| ) · σ̂ = 1.4826 × MAD
El factor 1.4826 convierte la MAD en un estimador de la desviación estándar cuando los datos son normales: en una distribución normal, la MAD vale aproximadamente 0.6745·σ, y 1 ÷ 0.6745 ≈ 1.4826. Muchos programas (por ejemplo, la función mad() de R) devuelven ya la versión escalada; revisa la documentación antes de comparar.
Cómo se calcula
- Calcula la mediana de los datos.
- Resta la mediana a cada dato y quita el signo.
- Ordena esas distancias.
- Toma su mediana: esa es la MAD.
- Si necesitas una cifra comparable con la desviación estándar, multiplícala por 1.4826.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: tiempos de respuesta de un servidor
Siete solicitudes tardaron 110, 95, 102, 98, 105, 400 y 100 milisegundos.
- Ordenados: 95, 98, 100, 102, 105, 110, 400. Mediana = 102 ms.
- Distancias a 102: 8, 7, 0, 4, 3, 298 y 2.
- Ordenadas: 0, 2, 3, 4, 7, 8, 298. Su mediana es MAD = 4 ms.
- Escalada: 1.4826 × 4 ≈ 5.9 ms.
Compara con las medidas clásicas: la media es ≈ 144.3 ms y la desviación estándar muestral ≈ 112.9 ms, ambas dominadas por la única solicitud lenta. La MAD dice lo que ves a simple vista: las solicitudes normales varían unos pocos milisegundos.
Ejemplo 2: detectar un atípico con la puntuación z modificada
Un laboratorio midió ocho veces la concentración de una muestra (mg/L): 3.1, 2.9, 3.4, 3.0, 3.2, 5.8, 3.3 y 2.8.
- Mediana: con ocho datos, se promedian el cuarto y el quinto valor ordenados (3.1 y 3.2): 3.15.
- Distancias ordenadas: 0.05, 0.05, 0.15, 0.15, 0.25, 0.25, 0.35, 2.65. MAD = (0.15 + 0.25) ÷ 2 = 0.2.
- Puntuación z modificada del 5.8: 0.6745 × (5.8 − 3.15) ÷ 0.2 ≈ 8.94.
Iglewicz y Hoaglin propusieron marcar como posible atípico todo valor con puntuación modificada mayor que 3.5; el 5.8 lo es con mucho margen. La puntuación z clásica, en cambio, da (5.8 − 3.44) ÷ 0.98 ≈ 2.42 y no lo detectaría con la regla de |z| > 3.
Cuándo no usarla
- Con datos discretos con muchos empates. Si más de la mitad de los datos es idéntica (por ejemplo, días sin ventas), la MAD vale cero aunque haya variación, y cualquier división entre ella explota.
- Cuando necesitas propiedades algebraicas: la MAD no se puede combinar entre grupos ni descomponer como la varianza, y no se usa en las fórmulas clásicas de intervalos de confianza.
- Con datos limpios y simétricos, donde la desviación estándar es más eficiente: aprovecha mejor la información y da estimaciones más estables con el mismo número de datos.
Errores comunes
- Calcular las distancias respecto a la media en lugar de la mediana.
- Comparar una MAD sin escalar con una desviación estándar (o al revés) y concluir que un grupo varía menos.
- Promediar las distancias en el último paso: eso da la desviación media respecto a la mediana, no la MAD.
- Olvidar ordenar las distancias antes de tomar su mediana.