La distribución muestral de un estadístico es la distribución de todos los valores que ese estadístico tomaría si repitieras el muestreo muchísimas veces, con muestras del mismo tamaño y tomadas de la misma población. La más importante es la distribución muestral de la media: si sacas mil muestras de 25 personas y calculas el promedio de cada una, obtienes mil promedios distintos, y su distribución tiene tres propiedades clave. Su centro coincide con la media de la población; su dispersión, llamada error estándar, es más pequeña que la de los datos individuales y se reduce con √n; y su forma se acerca a la normal al crecer n, aunque los datos no sean normales, por el teorema del límite central.
Es un concepto teórico: en la práctica solo tienes una muestra. Pero es lo que permite decir qué tan lejos puede estar tu promedio del verdadero, y por eso sostiene todos los intervalos de confianza y las pruebas de hipótesis.
Fórmula
μx̄ = μ · σx̄ = σ√n
Cómo razonar con ella
- Identifica el estadístico (media, proporción, mediana…) y el tamaño de muestra n.
- Su centro es el parámetro de la población (para la media, μ).
- Su dispersión es el error estándar: σ/√n para la media.
- Si n es suficientemente grande, supón forma normal y usa puntuaciones z: z = (x̄ − μ) ÷ (σ/√n).
- Si n es pequeño, la forma depende de la población; con datos normales y σ desconocida se usa la t de Student.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: construir la distribución muestral completa
Una población tiene solo tres valores: 2, 4 y 6. Su media es μ = 4 y su varianza poblacional es σ² = [(−2)² + 0² + 2²] ÷ 3 = 8/3.
Todas las muestras posibles de tamaño 2, con reemplazo, son 9:
| Muestra | Media | Muestra | Media | Muestra | Media |
|---|---|---|---|---|---|
| 2, 2 | 2 | 4, 2 | 3 | 6, 2 | 4 |
| 2, 4 | 3 | 4, 4 | 4 | 6, 4 | 5 |
| 2, 6 | 4 | 4, 6 | 5 | 6, 6 | 6 |
Distribución de las medias: 2 (1 vez), 3 (2), 4 (3), 5 (2), 6 (1).
- Promedio de las 9 medias: 36 ÷ 9 = 4, igual a μ.
- Varianza de las medias: [4 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 4] ÷ 9 = 12/9 = 4/3, que es σ²/n = (8/3) ÷ 2.
La población es plana (uniforme), pero las medias ya se amontonan en el centro: el 4 es tres veces más frecuente que los extremos.
Ejemplo 2: una botella contra el promedio de nueve
Una embotelladora llena con media 250 ml y desviación 6 ml. ¿Qué es más probable: que una botella tenga menos de 247 ml, o que el promedio de 9 botellas quede por debajo de 247 ml?
- Una botella: z = (247 − 250) ÷ 6 = −0.5 → P ≈ 0.309.
- Promedio de 9: el error estándar es 6 ÷ √9 = 2; z = (247 − 250) ÷ 2 = −1.5 → P ≈ 0.067.
Casi una de cada tres botellas sale por debajo de 247 ml, pero solo en el 7 % de las cajas de nueve el promedio queda así de bajo. Los promedios varían mucho menos que los individuos: por eso un inspector que mide promedios detecta un desajuste de la máquina, y uno que mide botellas sueltas se pierde en el ruido.
Cuándo no aplicar las fórmulas simples
- Muestreo sin reemplazo de una población pequeña. Si la muestra es más del 5 % de la población, el error estándar se multiplica por √[(N − n)/(N − 1)].
- Muestras que no son aleatorias. Ninguna fórmula corrige el sesgo de selección: la distribución muestral solo describe la variación por azar.
- Estadísticos distintos de la media. La mediana, la varianza o el máximo tienen sus propias distribuciones muestrales, con otras fórmulas; cuando no hay fórmula práctica se recurre al bootstrap.
Errores comunes
- Confundir la distribución de los datos con la distribución de las medias: la desviación de los datos es σ, la de las medias es σ/√n.
- Creer que el teorema del límite central vuelve normales los datos con muestras grandes; vuelve normal la distribución de la media.
- Pensar que duplicar la muestra reduce el error a la mitad: lo reduce en un factor √2, cerca de 29 %. Para reducirlo a la mitad hay que cuadruplicar n.