La media muestral (x̄) es la media aritmética de los datos de una muestra; la media poblacional (μ) es la media de todos los valores de la población. Se calculan con la misma operación (sumar y dividir), pero juegan papeles distintos: μ es un parámetro fijo y casi siempre desconocido, y x̄ es un estadístico que cambia de muestra en muestra y que se usa para estimar μ. Que x̄ sea un buen estimador se debe a dos propiedades: en promedio acierta (no tiene sesgo) y su error típico baja al aumentar el tamaño de la muestra, en proporción a 1/√n.
Fórmulas
μ = Σ xᵢN · x̄ = Σ xᵢn
La precisión de x̄ se mide con su error estándar, la desviación estándar de todas las medias muestrales posibles:
EE(x̄) = σ√n
Como σ casi nunca se conoce, en la práctica se usa s, la desviación estándar de la muestra. Si la muestra es una fracción grande de la población, se multiplica además por √((N − n) ÷ (N − 1)).
Cómo se usa para estimar
- Obtén una muestra aleatoria de tamaño n.
- Calcula x̄ y la desviación estándar muestral s.
- Calcula el error estándar: s ÷ √n.
- Reporta la estimación con su incertidumbre, por ejemplo con un intervalo de confianza: x̄ ± 1.96 · EE, cuando n es grande.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: todas las muestras posibles de una población de cuatro valores
Población: 2, 4, 6 y 8. Media poblacional μ = 5; varianza poblacional σ² = (9 + 1 + 1 + 9) ÷ 4 = 5.
Hay seis muestras posibles de dos elementos distintos:
| Muestra | 2, 4 | 2, 6 | 2, 8 | 4, 6 | 4, 8 | 6, 8 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| x̄ | 3 | 4 | 5 | 5 | 6 | 7 |
- El promedio de las seis medias muestrales es 30 ÷ 6 = 5, exactamente μ. Eso significa «sin sesgo»: x̄ no tiende a quedarse ni arriba ni abajo.
- Solo dos de las seis muestras aciertan exactamente; las demás fallan por 1 o por 2.
- La varianza de las seis medias es (4 + 1 + 0 + 0 + 1 + 4) ÷ 6 ≈ 1.67, menor que la de la población (5). Coincide con la fórmula para muestras sin reemplazo: σ² ÷ n × (N − n) ÷ (N − 1) = 5 ÷ 2 × 2 ÷ 3 ≈ 1.67.
Las medias muestrales se agrupan más cerca de μ que los datos individuales. Esa concentración es la base del teorema del límite central.
Ejemplo 2: cuánto cuesta duplicar la precisión
Una cadena de cafeterías mide el ticket de 36 clientes elegidos al azar: x̄ = 85 pesos y s = 12 pesos.
- Error estándar: 12 ÷ √36 = 12 ÷ 6 = 2 pesos.
- Intervalo aproximado al 95 %: 85 ± 1.96 × 2 = de 81.08 a 88.92 pesos.
¿Y para un error estándar de 1 peso? Hay que despejar √n = 12 ÷ 1 = 12, es decir, n = 144. Reducir el error a la mitad exige cuadruplicar la muestra. Esta ley de la raíz cuadrada explica por qué las encuestas casi nunca pasan de unos pocos miles de entrevistas: más allá, la ganancia de precisión se vuelve muy cara.
Cuándo no usarla
- Si la muestra no es aleatoria: la falta de sesgo de x̄ depende del sorteo; con una muestra voluntaria, x̄ puede estar sistemáticamente lejos de μ, y el error estándar no lo detecta.
- Con distribuciones de cola muy pesada (pérdidas extremas, tamaños de archivos, ingresos de los más ricos): x̄ converge lentísimo y un dato puede dominarla; la mediana muestral es más estable.
- Con muestras pequeñas y datos asimétricos: el intervalo x̄ ± 1.96 · EE puede quedarse corto; usa la distribución t de Student o métodos como el bootstrap.
Errores comunes
- Escribir μ para un resultado muestral.
- Confundir la desviación estándar de los datos (s = 12) con el error estándar de la media (2).
- Creer que la precisión depende del porcentaje de la población encuestada. Depende sobre todo de n.
- Pensar que «sin sesgo» significa «exacta»: en el ejemplo 1, cuatro de cada seis muestras fallan.
La calculadora de error estándar calcula s ÷ √n y el intervalo correspondiente.