La prueba chi cuadrada (χ², también escrita «ji cuadrada») es una prueba de hipótesis que compara las frecuencias observadas en categorías con las frecuencias que se esperarían si una hipótesis fuera cierta. Se usa con variables cualitativas o con conteos, y tiene dos aplicaciones principales. En la bondad de ajuste se pregunta si una sola variable sigue una distribución dada (¿el dado es justo?). En la prueba de independencia se pregunta si dos variables categóricas están relacionadas (¿la preferencia de modalidad depende del turno?). En ambos casos, el estadístico suma las diferencias al cuadrado entre lo observado y lo esperado, escaladas por lo esperado.
Fórmula
χ² = Σ (O − E)²E
Los grados de libertad son k − 1 en la bondad de ajuste (k categorías) y (filas − 1) × (columnas − 1) en la prueba de independencia. Las frecuencias esperadas de una tabla se calculan como (total de la fila × total de la columna) ÷ total general.
Valores críticos al 5 %: 3.841 (1 gl), 5.991 (2 gl), 7.815 (3 gl), 11.070 (5 gl).
Pasos
- Plantea H₀: «el dado es justo» o «las variables son independientes».
- Calcula las frecuencias esperadas bajo H₀.
- Comprueba que todas las esperadas sean al menos 5 (regla habitual).
- Calcula χ² sumando sobre todas las celdas.
- Obtén el valor p con los grados de libertad correspondientes y decide.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: ¿el dado es justo? (bondad de ajuste)
Un dado se lanza 120 veces. Si es justo, se esperan 20 de cada cara.
| Cara | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Observado | 25 | 17 | 15 | 23 | 24 | 16 |
| (O − 20)² ÷ 20 | 1.25 | 0.45 | 1.25 | 0.45 | 0.80 | 0.80 |
- χ² = 1.25 + 0.45 + 1.25 + 0.45 + 0.80 + 0.80 = 5.0, con 5 grados de libertad.
- Valor crítico al 5 %: 11.07. Valor p ≈ 0.42.
- No se rechaza H₀: las diferencias son del tamaño que produce el azar en 120 lanzamientos.
Muchas personas verían «sospechoso» que salga 25 veces el 1 y 15 veces el 3; la prueba muestra que es una variación normal.
Ejemplo 2: modalidad preferida por turno (independencia)
Se preguntó a 200 alumnos si prefieren clases presenciales o en línea:
| Observado | Presencial | En línea | Total |
|---|---|---|---|
| Matutino | 40 | 60 | 100 |
| Vespertino | 55 | 45 | 100 |
| Total | 95 | 105 | 200 |
Esperados bajo independencia: 100 × 95 ÷ 200 = 47.5 para «presencial» y 100 × 105 ÷ 200 = 52.5 para «en línea», en cada turno.
- χ² = (40 − 47.5)² ÷ 47.5 + (60 − 52.5)² ÷ 52.5 + (55 − 47.5)² ÷ 47.5 + (45 − 52.5)² ÷ 52.5 ≈ 1.184 + 1.071 + 1.184 + 1.071 = 4.51.
- Grados de libertad: (2 − 1) × (2 − 1) = 1. Valor crítico: 3.841. Valor p ≈ 0.034.
- Se rechaza la independencia al 5 %: la preferencia parece depender del turno (40 % presencial en el matutino frente a 55 % en el vespertino).
En tablas de 2 × 2 algunos textos aplican la corrección de Yates, que reduce χ² y da un resultado más conservador.
Cuándo no usarla
- Con frecuencias esperadas pequeñas (menos de 5 en más del 20 % de las celdas, o alguna menor que 1): usa la prueba exacta de Fisher o agrupa categorías.
- Con porcentajes o medias en lugar de conteos: la fórmula requiere frecuencias absolutas.
- Si una misma persona aparece en varias celdas (respuestas múltiples): las observaciones dejan de ser independientes.
- Para medir la fuerza de la relación: χ² crece con n; para la intensidad se usan medidas como la V de Cramér.
Errores comunes
- Calcular con porcentajes en lugar de con conteos.
- Usar mal los grados de libertad (contar celdas en lugar de filas − 1 por columnas − 1).
- Concluir causalidad a partir de una relación significativa.
- Olvidar revisar las frecuencias esperadas antes de interpretar.
En Excel, el valor p se obtiene con =PRUEBA.CHI.CUAD(rango_observado,rango_esperado) (en versiones antiguas, PRUEBA.CHI; en España, con ;). Primero tienes que armar la tabla de esperados con la fórmula de totales.