Qué es el valor esperado
El valor esperado, o esperanza matemática, es el promedio que obtendrías a la larga si repitieras un experimento aleatorio muchísimas veces. Se calcula como un promedio ponderado donde cada resultado posible pesa según su probabilidad.
E(X) = Σ x · p(x) = x₁p₁ + x₂p₂ + … + xₙpₙ
Las probabilidades deben ser positivas y sumar 1 (o 100 %). La calculadora acepta una pequeña diferencia por redondeo, como tres probabilidades de 0.333; si la suma se aleja más, te lo indica en lugar de corregirla en silencio. También calcula la varianza, Σ (x − E)² · p, y su raíz, que miden qué tan lejos del valor esperado suelen caer los resultados.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: el valor esperado de un boleto de rifa
Un boleto cuesta 20 pesos. Hay una probabilidad de 1 en 500 de ganar 5,000 pesos. Restando el costo del boleto:
| Resultado | Ganancia neta (x) | Probabilidad (p) | x · p |
|---|---|---|---|
| Ganas | 4,980 | 0.002 | 9.96 |
| Pierdes | −20 | 0.998 | −19.96 |
| Total | 1 | −10 |
E(X) = −10 pesos: en promedio, cada boleto te cuesta 10 pesos. Eso no impide que alguien gane; describe lo que pasa en promedio con muchos boletos.
Ejemplo 2: un dado justo
Cada cara, del 1 al 6, tiene probabilidad 1/6.
- E(X) = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) × 1/6 = 21 ÷ 6 = 3.5.
- Varianza: [(1 − 3.5)² + (2 − 3.5)² + … + (6 − 3.5)²] × 1/6 = 17.5 ÷ 6 ≈ 2.92.
- Desviación estándar: √2.92 ≈ 1.71.
El valor esperado no tiene que ser un resultado posible: ningún dado cae en 3.5. Es el promedio al que se acercan muchos lanzamientos. En la calculadora, usa el ejemplo «Un dado» para verlo con fracciones.
Errores comunes
- Probabilidades que no suman 1. Suele pasar al olvidar un resultado, como «no ganar nada».
- Olvidar restar el costo. En juegos y apuestas, el valor de un resultado es la ganancia neta, no el premio.
- Interpretarlo como lo que va a pasar. En una sola jugada sale un resultado concreto; el valor esperado se cumple solo en el promedio de muchas repeticiones.
- Mezclar porcentajes y decimales en la misma tabla. Usa una sola escala: 0.2, 0.5, 0.3 o 20, 50, 30.
Dónde se usa
En seguros y finanzas para calcular primas y pérdidas esperadas, en juegos de azar para saber qué tan favorable es una apuesta, en proyectos para comparar escenarios con distinta probabilidad y en estadística como la media de una distribución. Si en lugar de probabilidades tienes frecuencias observadas (cuántas veces pasó cada cosa), el cálculo es el mismo que una media de datos agrupados. Más en el glosario: valor esperado.