Qué es la puntuación z
La puntuación z (o valor estandarizado) dice a cuántas desviaciones estándar está un dato de la media. Un z de 0 está justo en la media; un z de 1.5, una desviación y media por encima; un z de −2, dos desviaciones por debajo. Como elimina las unidades, permite comparar datos de escalas distintas: una calificación sobre 10 con una sobre 100, o la estatura de un niño con la de una niña de otra edad.
z = x − μσ
Si los datos siguen una distribución normal, z se traduce en un porcentaje: la proporción de valores que quedan por debajo, Φ(z), que es lo que buscarías en una tabla de la normal estándar. La calculadora la obtiene con una aproximación cuyo error es menor que una diezmillonésima.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: ¿qué tan bueno fue tu examen?
Sacaste 82 puntos en un examen cuyo promedio fue 70 con desviación estándar de 8.
- Resta la media: 82 − 70 = 12.
- Divide entre la desviación: 12 ÷ 8 = z = 1.5.
- En la tabla normal, Φ(1.5) ≈ 0.9332: si las calificaciones tienen forma de campana, alrededor del 93 % del grupo sacó menos que tú.
Ejemplo 2: comparar dos materias con escalas distintas
Ana sacó 85 en matemáticas y 72 en historia. ¿En cuál le fue mejor en relación con su grupo?
| Materia | Ana | Media del grupo | Desviación | z |
|---|---|---|---|---|
| Matemáticas | 85 | 75 | 10 | (85 − 75) ÷ 10 = 1.0 |
| Historia | 72 | 60 | 6 | (72 − 60) ÷ 6 = 2.0 |
Aunque su calificación de historia es más baja, está dos desviaciones por encima de su grupo, contra una sola en matemáticas. En términos relativos, historia fue su mejor resultado.
Cómo leer el resultado
En una distribución normal, cerca del 68 % de los datos tiene z entre −1 y 1, cerca del 95 % entre −2 y 2 y el 99.7 % entre −3 y 3. Por eso un |z| mayor que 2 se considera poco común y uno mayor que 3, muy raro; en control de calidad se usa a menudo para marcar mediciones sospechosas.
Errores comunes
- Invertir la resta. Es dato menos media; al revés, el signo sale cambiado.
- Dividir entre la varianza. Se divide entre la desviación estándar, que es su raíz.
- Traducir z a porcentaje con datos que no son normales. Con ingresos o tiempos de espera, muy sesgados, el porcentaje de la tabla normal puede estar lejos de la realidad. En ese caso calcula el percentil directamente con los datos.
- Mezclar la media de un grupo con la desviación de otro. Las dos deben venir de la misma población.
En Excel
=ESTANDARIZAR(82,70,8) devuelve 1.5 y =DISTR.NORM.ESTAND.N(1.5,VERDADERO) devuelve 0.9332, la proporción por debajo. Con configuración de España, separa los argumentos con punto y coma. La escala del coeficiente intelectual es un caso conocido de puntuación estandarizada: la mayoría de las pruebas actuales se construyen para que la media sea 100 y la desviación 15, así que un CI de 130 equivale a z = 2. En el glosario encontrarás más sobre la desviación estándar y sobre la puntuación z.