Qué es la varianza
La varianza es el promedio de las distancias al cuadrado entre cada dato y la media. Mide la dispersión, igual que la desviación estándar, pero en unidades al cuadrado: si tus datos están en pesos, la varianza está en pesos². Por eso, para describir datos se suele reportar su raíz, la desviación estándar, y la varianza se usa sobre todo en cálculos: las varianzas de variables independientes se suman, las desviaciones estándar no.
s² = Σx² − (Σx)² ÷ nn − 1
Esta es la fórmula «de cálculo»: da lo mismo que Σ(x − x̄)² ÷ (n − 1), pero no obliga a restar la media a cada dato, y por eso es la que aparece en muchos libros y en las calculadoras de bolsillo. Para la varianza poblacional (σ²) se divide entre n en lugar de n − 1.
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: horas de sueño con la fórmula de cálculo
Un estudiante anota cuántas horas durmió en 5 noches elegidas al azar del semestre: 6, 7, 5, 8 y 9.
- Σx = 35, así que la media es 7.
- Σx² = 36 + 49 + 25 + 64 + 81 = 255.
- (Σx)² ÷ n = 35² ÷ 5 = 1,225 ÷ 5 = 245.
- Suma de cuadrados centrada: 255 − 245 = 10.
- Es una muestra: s² = 10 ÷ 4 = 2.5 horas² (y s ≈ 1.58 horas).
Si esas 5 noches fueran todas las que te interesan, σ² = 10 ÷ 5 = 2.
Ejemplo 2: qué pasa al cambiar de unidades
Tres hermanos miden 1.60 m, 1.70 m y 1.80 m (es toda la población de interés).
- En metros: la media es 1.70; las desviaciones al cuadrado suman 0.01 + 0 + 0.01 = 0.02; σ² = 0.02 ÷ 3 ≈ 0.0067 m².
- En centímetros: 160, 170 y 180; los cuadrados suman 100 + 0 + 100 = 200; σ² = 200 ÷ 3 ≈ 66.67 cm².
Pasar de metros a centímetros multiplica cada dato por 100 y la varianza por 100² = 10,000. La desviación estándar, en cambio, solo se multiplica por 100 (de 0.082 m a 8.2 cm).
Errores comunes
- Confundir Σx² con (Σx)². Primero se eleva cada dato y luego se suma; no es lo mismo que sumar y luego elevar.
- Dividir entre n con una muestra. En Excel,
VAR.Sdivide entre n − 1 yVAR.Pentre n. Las versiones antiguasVARyVARPhacen lo mismo, respectivamente. - Reportar la varianza como si estuviera en las unidades de los datos. Una varianza de 2.5 horas² no significa que el sueño varíe 2.5 horas.
- Usar la fórmula de cálculo con números enormes en una hoja de cálculo. Con datos como 1,000,000,001 y 1,000,000,002 la resta Σx² − (Σx)² ÷ n pierde precisión. Esta calculadora resta la media primero para evitarlo y solo usa la fórmula corta para mostrarte los pasos.
Cuándo usar la varianza
Es la medida de dispersión de la que parten el análisis de varianza (ANOVA), la regresión y el cálculo de riesgo de una cartera de inversión. Si solo necesitas describir qué tan dispersos están unos datos, quédate con la desviación estándar, la desviación media o el rango. La definición formal está en el glosario: varianza.