La media armónica de n números positivos es n dividido entre la suma de sus inversos. Dicho de otro modo: inviertes cada dato (1/x), promedias esos inversos y vuelves a invertir el resultado. Es el promedio correcto cuando los datos son tasas (kilómetros por hora, piezas por hora, acciones por peso) y lo que se mantiene fijo entre observaciones es la cantidad del numerador: la misma distancia, la misma cantidad de piezas, el mismo dinero invertido. De las tres medias clásicas es siempre la más pequeña: armónica ≤ geométrica ≤ aritmética.
Cómo se calcula
- Comprueba que todos los datos sean positivos y distintos de cero.
- Calcula el inverso de cada uno (1 ÷ x).
- Suma los inversos.
- Divide n entre esa suma.
H = nΣ (1 / xᵢ)
Si cada tasa tiene un peso distinto (por ejemplo, tramos de distinta longitud), se usa la versión ponderada, donde los pesos son las cantidades del numerador:
Hₚ = Σ wᵢΣ (wᵢ / xᵢ)
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: ida y vuelta a distinta velocidad
Manejas 120 km a 60 km/h y regresas los mismos 120 km a 40 km/h. ¿Cuál fue tu velocidad promedio?
- Media armónica: 2 ÷ (1/60 + 1/40) = 2 ÷ (0.01667 + 0.025) = 48 km/h.
- Comprobación con tiempos: la ida dura 2 h y la vuelta 3 h. Recorriste 240 km en 5 h: 240 ÷ 5 = 48 km/h.
La media aritmética (50 km/h) se equivoca porque pasaste más tiempo yendo despacio. El resultado no depende de la distancia: con 10 km o con 500 km de ida, el promedio sigue siendo 48 km/h siempre que ida y vuelta midan lo mismo.
Ejemplo 2: comprar con un monto fijo cada mes
Inviertes 1,000 pesos al mes en un fondo cuyo precio por unidad fue 20, 25 y 40 pesos en tres meses.
| Mes | Precio | Unidades compradas |
|---|---|---|
| 1 | 20 | 50 |
| 2 | 25 | 40 |
| 3 | 40 | 25 |
| Total | 115 |
- Gastaste 3,000 pesos y tienes 115 unidades: costo promedio = 3,000 ÷ 115 ≈ 26.09 pesos.
- Media armónica de 20, 25 y 40: 3 ÷ (0.05 + 0.04 + 0.025) = 3 ÷ 0.115 ≈ 26.09. Coinciden.
El promedio simple de los precios (28.33) sobrestima tu costo, porque compraste más unidades cuando estaban baratas. Si en lugar de un monto fijo compraras la misma cantidad de unidades cada mes, el costo promedio sí sería la media aritmética.
Cómo saber si te toca la armónica
Fíjate en la unidad del dato, «A por B», y en qué se mantuvo constante:
- Si lo constante es A (misma distancia, mismo dinero, mismo número de piezas), usa la armónica.
- Si lo constante es B (mismo tiempo, mismas unidades compradas, mismas horas), usa la aritmética.
Ejemplo: manejar una hora a 60 km/h y otra hora a 40 km/h da un promedio de 50 km/h (aritmética), porque lo constante es el tiempo.
En Excel y Google Sheets, =MEDIA.ARMO(A2:A10). Para la versión ponderada no hay función: =SUMA(B2:B4)/SUMAPRODUCTO(B2:B4/A2:A4) en México, con ; en lugar de , si tu Excel está configurado para España.
Cuándo no usarla
- Con ceros o con valores negativos: el inverso de 0 no existe y con negativos el resultado pierde sentido.
- Cuando lo constante es el denominador, como en la regla anterior: tiempos iguales, cantidades iguales.
- Con datos que no son tasas. Promediar calificaciones o estaturas con la armónica subestima el resultado sin justificación.
- Si los valores están muy cerca de cero: un dato diminuto domina la suma de inversos y hunde la media.
Errores comunes
- Promediar velocidades con la media aritmética cuando los tramos tienen la misma distancia.
- Olvidar invertir de nuevo al final y reportar el promedio de los inversos (0.0208 h/km en el ejemplo 1).
- Usar la armónica simple cuando los tramos miden distinto: en ese caso hay que ponderar por distancia.
- Pensar que la armónica es «más precisa» en general: solo es la correcta para cierto tipo de pregunta.
La calculadora de media armónica admite pesos, y la de promedio de velocidad resuelve directamente el caso de tramos. Para ver las tres medias como casos de una sola fórmula, revisa la media generalizada.