La covarianza mide si dos variables numéricas tienden a variar juntas. Es positiva cuando los valores altos de una suelen ir con valores altos de la otra (temperatura y venta de helados), negativa cuando los altos de una van con los bajos de la otra (precio y cantidad comprada) y cercana a cero cuando no hay una tendencia lineal común. Se calcula promediando, para cada par de datos, el producto de sus desviaciones respecto a sus medias. Su gran limitación es que su tamaño depende de las unidades: la misma relación da una covarianza distinta si mides en grados Celsius o Fahrenheit, en pesos o en miles de pesos. Por eso, para medir la fuerza de la relación se usa su versión estandarizada, el coeficiente de correlación de Pearson.
Fórmula
sxy = Σ (xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)n − 1
Para una población completa se divide entre N. La covarianza de una variable consigo misma es su varianza: sxx = s².
Cómo se calcula
- Calcula la media de cada variable.
- Para cada par, resta su media a x y a y.
- Multiplica las dos desviaciones de cada par. El producto es positivo si ambas están del mismo lado de su media y negativo si están en lados opuestos.
- Suma los productos.
- Divide entre n − 1. En Excel:
=COVARIANZA.M(rango_x;rango_y)(muestral) oCOVARIANZA.P(poblacional).
Ejemplos resueltos
Ejemplo 1: temperatura y ventas de agua fresca
Un puesto registró la temperatura máxima y los vasos vendidos en cinco días:
| Temperatura (°C) | Vasos | x − 24 | y − 55 | Producto |
|---|---|---|---|---|
| 18 | 45 | −6 | −10 | 60 |
| 21 | 44 | −3 | −11 | 33 |
| 24 | 58 | 0 | 3 | 0 |
| 27 | 55 | 3 | 0 | 0 |
| 30 | 73 | 6 | 18 | 108 |
- Medias: 24 °C y 55 vasos.
- Suma de productos: 201.
- Covarianza: 201 ÷ 4 = 50.25 °C·vasos.
Es positiva: los días más calurosos se vende más. Pero el número 50.25 por sí solo no dice si la relación es fuerte o débil; dividiéndolo entre las dos desviaciones estándar (≈ 4.74 y ≈ 11.77) se obtiene la correlación, ≈ 0.90, que sí indica una relación fuerte.
Ejemplo 2: la covarianza cambia con las unidades
Con los mismos cinco días, mide la temperatura en Fahrenheit (°F = 1.8 × °C + 32). Las desviaciones de la temperatura se multiplican por 1.8, y la covarianza también: 50.25 × 1.8 ≈ 90.45 °F·vasos. La relación es idéntica; solo cambió la escala. La correlación, en cambio, sigue valiendo 0.90.
Regla general: si multiplicas x por a y y por b, la covarianza se multiplica por a·b. Sumar constantes (como el 32) no la cambia.
Ejemplo 3: la covarianza en la varianza de una suma
Dos inversiones tienen rendimientos con varianzas 4 y 9 (en puntos porcentuales al cuadrado). La varianza de su suma es Var(X + Y) = Var(X) + Var(Y) + 2·Cov(X, Y).
- Si su covarianza es −1.5: 4 + 9 − 3 = 10.
- Si su covarianza es +3: 4 + 9 + 6 = 19.
Combinar cosas que se mueven en sentidos opuestos reduce la variación del total. Es el principio de la diversificación, y la covarianza es lo que lo mide. (Esto es una explicación del cálculo, no una recomendación de inversión).
Cuándo no usarla
- Para comparar la fuerza de relaciones entre pares de variables distintos: una covarianza de 500 entre ingreso y gasto no es «más fuerte» que una de 0.3 entre estatura y peso en metros y kilos. Usa la correlación.
- Con relaciones no lineales: una relación en forma de U puede dar covarianza cero aunque las variables estén fuertemente ligadas. Mira primero un diagrama de dispersión.
- Con datos con atípicos: un solo par extremo puede dominar la suma de productos, como el día de 30 °C aporta 108 de 201 en el ejemplo 1.
Errores comunes
- Interpretar el tamaño de la covarianza como fuerza de la relación.
- Mezclar la versión muestral y la poblacional al comparar resultados de distintos programas.
- Olvidar las unidades: la covarianza se expresa en el producto de las unidades de ambas variables.
- Concluir causalidad a partir de una covarianza positiva (ver correlación).