Para sacar el promedio de varios promedios, multiplica cada promedio por el número de datos de su grupo, suma esos productos y divide entre el total de datos. Si un grupo de 10 alumnos promedia 6 y otro de 30 promedia 8, el promedio de los 40 es (6 × 10 + 8 × 30) ÷ 40 = 300 ÷ 40 = 7.5, no 7. El promedio simple de los promedios solo es correcto cuando todos los grupos tienen el mismo tamaño. Esta cuenta es un caso de promedio ponderado en el que el peso es el tamaño de cada grupo.
Por qué no basta con promediar los promedios
Un promedio esconde cuántos datos lo forman. Si en un salón de 4 personas el promedio de edad es 20 y en otro de 36 es 30, al juntarlos hay 36 personas de alrededor de 30 años y solo 4 de 20: el promedio conjunto tiene que estar muy cerca de 30. El promedio de promedios, 25, ignora eso. La forma correcta recupera las sumas originales:
x̄ = n₁x̄₁ + n₂x̄₂ + … + nkx̄kn₁ + n₂ + … + nk
Con los salones: (4 × 20 + 36 × 30) ÷ 40 = (80 + 1,080) ÷ 40 = 1,160 ÷ 40 = 29.
Pasos
- Para cada grupo, anota su promedio y su tamaño (cuántos datos tiene).
- Multiplica promedio × tamaño. El resultado es la suma de ese grupo.
- Suma todas las sumas.
- Suma todos los tamaños.
- Divide el total de sumas entre el total de datos.
Ejercicios resueltos
Ejercicio 1: tres sucursales con distinto número de ventas
| Sucursal | Tickets | Ticket promedio (pesos) | Ventas totales |
|---|---|---|---|
| Centro | 1,200 | 185 | 222,000 |
| Norte | 450 | 260 | 117,000 |
| Sur | 350 | 140 | 49,000 |
| Total | 2,000 | 388,000 |
Ticket promedio de la cadena: 388,000 ÷ 2,000 = 194 pesos. El promedio de los tres promedios, (185 + 260 + 140) ÷ 3 = 195, se parece por casualidad: Norte, con el ticket más alto, tiene pocos tickets y Sur, con el más bajo, todavía menos.
Ejercicio 2: el caso en que el atajo sí funciona
Cuatro grupos de 25 alumnos tienen promedios de 7.8, 8.2, 8.5 y 7.5.
Como todos los grupos tienen 25, el promedio de promedios es correcto: (7.8 + 8.2 + 8.5 + 7.5) ÷ 4 = 32 ÷ 4 = 8.0. Por la fórmula larga: 25 × 32 ÷ 100 = 8.0. Coinciden.
Ejercicio 3: encontrar el tamaño que falta
En una escuela, el turno matutino (120 alumnos) promedia 8.4 y el promedio de toda la escuela es 8.1. El vespertino promedia 7.6. ¿Cuántos alumnos tiene el vespertino?
- Llama v al número de alumnos del vespertino.
- (120 × 8.4 + v × 7.6) ÷ (120 + v) = 8.1
- 1,008 + 7.6v = 972 + 8.1v
- 36 = 0.5v → v = 72 alumnos
Comprobación: (1,008 + 72 × 7.6) ÷ 192 = (1,008 + 547.2) ÷ 192 = 1,555.2 ÷ 192 = 8.1.
Ejercicio 4: la paradoja de los promedios combinados
Dos hospitales atienden pacientes leves y graves. El hospital A tiene mejor tasa de recuperación en cada tipo de paciente, pero su tasa general es peor que la de B, porque atiende muchos más casos graves. Cuando los grupos tienen tamaños muy distintos, comparar promedios combinados puede invertir la conclusión que dan los grupos por separado. Este fenómeno se conoce como paradoja de Simpson y es la razón para revisar siempre la composición de los grupos antes de comparar promedios generales.
Errores comunes
- Promediar promedios de grupos de distinto tamaño sin ponderar. Es el error clásico de este tema.
- Ponderar por el tamaño equivocado. Para el ticket promedio, el peso es el número de tickets, no el número de días ni de empleados.
- Promediar porcentajes como si fueran promedios simples. Un porcentaje también es un promedio (de unos y ceros), así que se combina igual: lo explicamos en promedio de porcentajes.
- Olvidar que el resultado debe quedar entre el menor y el mayor promedio. Si no, hay un error de cuentas.
Si eres docente y quieres el promedio de tu grupo a partir de una lista de alumnos y materias, la guía de promedio de un grupo parte de la tabla completa.
Preguntas frecuentes
¿Por qué el promedio de promedios da un resultado distinto?
Porque trata a cada grupo como si tuviera el mismo número de datos. Un grupo de 5 personas termina pesando lo mismo que uno de 50, y el resultado se inclina hacia el grupo pequeño.
¿Puedo combinar promedios si no sé cuántos datos tiene cada grupo?
No con exactitud. Sin los tamaños solo puedes decir que el promedio conjunto está entre el menor y el mayor de los promedios. Si los grupos son de tamaño parecido, el promedio simple de promedios es una aproximación razonable, pero hay que decirlo.